Giải bài tập Toán lớp 8 tập 1 bài 11 trang 51: Hình thang cân

Các bài tập Toán lớp 8 tập 1 bài 11 trang 51 với chủ đề Hình thang cân là những bài tập giúp các em ôn luyện và cũng cố kiến thức đã được học trên lớp.

Trong bài viết dưới đây, Tkbooks sẽ cung cấp cho các em lời giải cho những bài tập ở phần Bài tập và phần Luyện tập chung (trang 55 – 56).

Mời các em tham khảo!

>>> Xem thêm: Toán lớp 8 bài 1: Đơn thức – Các dạng toán kèm lời giải chi tiết nhất

I. Phần bài tập Hình thang cân

Bài 3.4. Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?

Lời giải:

• Cách 1:

Do ABCD là hình thang có AB // CD nên ta có: Góc A + góc D = 180°

Suy ra góc D = 180° – góc A = 180° – 120° = 60°

Hình thang ABCD có góc C ≠ góc D (do 60° # 80°) nên không phải là hình thang cân.

• Cách 2:

Giả sử hình thang ABCD là hình thang cân. Khi đó góc A = góc B = 120°; góc C = góc D = 80°.

Suy ra góc A + góc B + góc C + góc D = 120° +120° +80° +80° = 400° > 360° (không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).

Khi đó, ABCD không phải là tứ giác, điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là hình thang cân (hình thang cân cũng là tứ giác).

Do đó ABCD không phải là hình thang cân.

Bài 3.5 trang 55 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét tam giác DOE và tam giác COE có:

Góc ODE = góc OCE = 90° (VÌ OD ⊥ DE; OC ⊥ CE); EC = ED (giả thiết);

Cạnh OE chung

Do đó tam giác DOE = tam giác COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng) (1)

Do đó tam giác OCD cân tại O nên góc C1 = góc D1.

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra góc A1 = góc C1; góc B1 = góc D1 (cặp góc so le trong).

Do đó góc A1 = góc B1 (vì góc C1 = góc D1).

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB (2)

Ta có: AC = DA + OC và BD = OB + OD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD nên ABCD là hình thang cân.

Bài 3.6 trang 55 Toán 8 Tập 1: Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.

Lời giải:

Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:

– Vẽ cạnh CD = 4 cm.

– Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.

– Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 3 cm) và (C; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B. – Nối AB, AD, BC ta được hình thang cân ABCD (như hình vẽ).

Bài 3.7 trang 55 Toán 8 Tập 1: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thang cân nên góc DAB = góc ABC; góc C = góc D; AD = BC.

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của góc BAD và góc ABC.

Suy ra góc A1 = góc A2 = ½ góc DAB; góc B1 = góc B2 = ½ góc ABC. Mà góc DAB = góc ABC nên góc A1 = góc A2 = góc B1 = góc B2.

Xét tam giác EAB cân tại E (vì góc A1 = góc B1) nên EA = EB.

Xét tam giác ADE và tam giác BCE có:

EA = EB (chứng minh trên);

Góc A2 = góc B2 (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó tam giác ADE = tam giác BCE (c.g.c).

Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).

Bài 3.8 trang 55 Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I; các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thang cân nên góc BAD = góc ABC; góc ADC = góc BCD; AD = BC; AC = BD.

Xét DICD cân tại I (vì góc ADC = góc BCD) nên IC = ID.

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA

Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)

Xét tam giác ABD và tam giác BAC có:

AB là cạnh chung

Góc BAD = góc ABC (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó tam giác ABD = tam giác BAC (c.g.c)

Suy ra góc ABD = góc BAC (hai góc tương ứng).

Tam giác JAB cân tại J (vì góc ABD = góc BAC ) nên JA = JB

Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

II. Phần luyện tập chung về Hình thang cân

Bài 3.9 trang 56 Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao?

Lời giải:

Vẽ tia Dx đi qua điểm A.

Vì góc DAB và góc BAx là hai góc kề bù nên góc DAB + góc BAx =180° .

Suy ra góc Bax = 180° – góc DAB = 180° – 120° = 60°.

Ta có góc ADC = góc BAx = 60° mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 3.10 trang 56 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = AD. Biết ABD = 30°, tính số đo các góc của hình thang đó.

Lời giải:

Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD), ta có:

Góc ADB = góc ABD = 30°;

Góc A + góc ABD + góc ADB = 180° hay góc A + 30° + 30° = 180°

Suy ra góc A = 180° – 30° – 30° = 120°.

Vì AB // CD nên góc ADB = góc CBD = 30° (hai góc so le trong).

Do đó góc ABC = góc ABD + góc CBD = 30° + 30° = 60°.

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên góc C = góc ABC = 60° ; góc ADC = góc A = 120° .

Vậy số đo các góc của hình thang cân ABCD là: góc A = 120°; góc ABC = 60°; góc C = 60°; góc ADC = 120°.

Bài 3.11 trang 56 Toán 8 Tập 1: Tính số đo các góc của tứ giác ABCD trong Hình 3.26.

Lời giải:

Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:

Góc ADB = góc ABD = 40°.

Góc A + góc ABD + góc ADB = 180°.

Suy ra góc A = 180° – góc ABD – góc ADB = 180° – 40° – 40° = 100°.

Ta có góc ADB + góc BDC = 120° suy ra góc BDC = 120°

Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) ta có:

Góc CBD = góc CDB = 80°.

Góc C + góc CBD + góc CDB = 180°

Suy ra góc C = 180° – góc CBD – góc CDB = 180° – 80° – 80° = 20°.

Ta có: Góc ABC = góc ABD + góc CBD = 40° +80° = 120°.

Vậy số đo các góc của tứ giác ABCD là: Góc A = 100° ; góc ABC = 120° ; góc C = 20°.

Bài 3.12 trang 56 Toán 8 Tập 1: Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC đều nên góc BAC = góc ABC = góc ACB = 60° .

Vì PM // BC nên APM ABC = 60° (đồng vị).

Suy ra góc APM = góc PAR (cùng bằng 60°).

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có góc APM = góc PAR.

Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)

Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có các tử giác BPMQ và MQCR là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ và MC = QR (2)

Từ (1)và (2) suy ra PR + PQ + QR = MA + MB + MC.

Mà PR + PQ + QR chính là chu vi của tam giác PQR.

Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Để tam giác PQR là tam giác đều thì PR = PQ = QR. Suy ra MA = MB = MC.

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.

Hy vọng rằng phần giải  bài tập Toán lớp 8 tập 1 bài 11 trang 51: Hình thang cân ở trên của TKbooks sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức vào giải các bài toán về hình thang cân, đồng thời củng cố thêm sự tự tin trong quá trình học tập môn Toán.

Hãy tiếp tục ôn luyện và thực hành thường xuyên để nắm vững các kiến thức cơ bản, từ đó chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới.

Chúc các em học tập hiệu quả và đạt được kết quả cao!

Các dạng toán và lý thuyết ở trên đều có sẵn trong cuốn Làm chủ kiến thức Toán bằng sơ đồ tư duy lớp 8 – Tập 1. Các em nên mua cuốn sách này để hỗ trợ cho việc học Toán của mình nhé! Ngoài ra TKbooks cũng có đủ bộ sách tham khảo lớp 8 của môn Ngữ Văn và Tiếng Anh với nội dung bám sát chương trình học mới nhất.

Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1TsmoDs83uAwQu0FqU6ikrzFtEBDMH2Kq/view

TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo lớp 8 hàng đầu tại Việt Nam!

TKbooks.vn