Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian
Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.
Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán và vectơ trong không gian
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là →AB.
Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu →AB chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là →a, →b, →x, →y,…
Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ không, sự băng nhau của hai vectơ, được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
>>> Click để xem thêm kiến thức về vectơ trong mặt phẳng
2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
a. Khái niệm về sự đồng phăng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ →a, →b, →c đều khác vectơ không.
Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ →OA = →a, →OB = →b, →OC = →c thì có thể xảy ra hai trường hợp:
- Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ →a, →b, →c không đồng phẳng.
- Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ →a, →b, →c đồng phẳng. Trong trường hợp này giá của các vectơ →a, →b, →c luôn luôn song song với một mặt phẳng.
Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O .
Từ đó ta có định nghĩa sau đây:
b. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
c. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:
Định lí l
Trong không gian cho hai vectơ →a, →b không cùng phương và vectơ →c . Khi đó ba vectơ →a, →b, →c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho →c = m.→a + n. →b . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
Định lí 2
Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng →a, →b, →c . Khi đó với mọi vectơ →x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = m.→a + n.→b + p.→c . Ngoài ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho →u và →v là hai vectơ khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB = →u, AC = →v.
Khi đó ta gọi góc BAC (0° < BAC < 180° ) là góc giữa hai vectơ →u và →v trong không gian, kí hiệu là (→u,→v) .
b. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho hai vectơ →u và →v là hai vectơ khác →0.
Tích vô hướng của hai vectơ →u và →v là một số, kí hiệu là →u.→v được xác định bởi công thức:
| →u.→v = |→u|.|→v|.cos(→u,→v) |
Trong trường hợp →u = 0 hoặc →v = 0, ta quy ước →u.→v = 0.
2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
a. Định nghĩa
Vectơ →a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ →a song song hoặc trùng với đường thẳng d.
b. Nhận xét
- Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.→a với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
- Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương →a của nó.
- Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
a. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
b. Nhận xét
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu →u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và →v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (→u,→v)= a thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng a nếu 0° < a <90° và bằng 180°– a nếu 90° < a < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.
4. Hai đường thẳng vuông góc
a. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥b.
b. Nhận xét
- Nếu →u và →v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a ⊥b ⟺ →u.→v = 0.
- Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
- Hai đường thăng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
5. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a năm trong mặt phẳng (α).
Kí hiệu d ⊥ (α).
b. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thăng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
c. Tính chất
Tính chất 1
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tính chất 2
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
d. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Tính chất 1
Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 2
Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Tính chất 3
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thăng
thì song song với nhau.
Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
e. Định lí ba đường vuông góc
Định nghĩa
Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) coi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).
Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
f. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa
Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90o.
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° < φ < 90°.
6. Hai mặt phẳng vuông góc
6.1. Góc giữa hai mặt phẳng
a. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.
b. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (a) và S’ là diện tích hình chiếu của H’ của H trên mặt phẳng (B) thì
| S’ = S.cos φ |
trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (ß).
6.2. Hai mặt phẳng vuông góc
a. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
Nếu hai mặt phẳng (α) và (ß) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (ß).
b. Định lí
Định lí 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thăng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phăng đó vuông góc với nhau.
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 2
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
6.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
a. Định nghĩa
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
b. Nhận xét
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
6.4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
a. Hình chóp đều
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét
- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
- Các cạnh bên của hình chóp đều, tạo với đáy các góc bằng nhau.
b. Hình chóp cụt đều
Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
7. Các bài toán tính góc thường gặp
Loại hình 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy.
Các dạng toán khác về Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.