Vectơ – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực chi tiết

Vectơ là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về vectơ. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Khái niệm vecto

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là “vectơ →AB”.

Để vẽ được vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Vectơ còn được kí hiệu là →a, →b, →x, →y, … khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của →AB được kí hiệu là |→AB|, như vậy |AB| = AB.

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương, cùng chiều và có cùng độ dài, kí hiệu →a = →b.

4. Vectơ – không

Vectơ này được kí hiệu là →AA có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ — không.

I. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ →a và →b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = →a và BC = →b

Vectơ →AC được gọi là tổng của hai vectơ →a và →b .

Ta kí hiệu tổng của hai vectơ →a và →b là →a + →b.

Vậy AC = →a + →b

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì →AB + →AD = →AC

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có:

→a + →b = →b + →a (tính chất giao hoán);

(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c) (tính chất kết hợp),

→a + 0 = 0 + →a = →a (tính chất của vectơ – không).

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ →a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với →a được gọi là vectơ đối của vectơ →a, kí hiệu là –(→a).

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của →AB là →BA, nghĩa là – (→)AB = →BA.

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ →0 là vectơ →0.

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ →a và →b . Ta gọi hiệu của hai vectơ →a và →b là vectơ →a + -(→b), kí hiệu →a – (→)b

Như vậy

a − b = a + (- (→b))

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có →AB = →OB – (→OA).

Chú ý:

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có:

• →AB + →BC = →AC (quy tắc ba điểm);
• Mở rộng: →A₁A₂ + →A₂A₃ + … +  →A_n-1A_n = →A₁A_n
• →AB – (→AC) = →CB (quy tắc trừ).

Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi →IA + →IB = →0 .

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi →GA + →GB + →GC = →0

III. TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa

Cho số k ≠ 0 và vectơ →a ≠ 0 .

Tích của vectơ →a với số k là một vectơ, kí hiệu là k. →a

• →a ↑↑ k.→a khi k > 0.
• →a ↑↓ k.→a khi k < 0.
• |k. →a | = |k|.|→a|

2. Tính chất

Với hai vectơ →a và →b bất kì, với mọi số h và k ta có:

• →a. →b = →b. →a.
• k(→a + →b) = k. →a + k. →b.
• (h + k) →a = h. →a + k. →a
• 1.→a = →a; (-1). →a = – (→a)
• (→a ± →b)² = →a² ± 2.→a.→b + →b²
• →a² – →b² = (→a – (→b)).( →a + →b)

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta có:

→MA + →MB = 2.→MI

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có:

→GA + →GB + →GC = 3.→MG

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ →a và →b ( b≠0) cùng phương là có một số k để:

→a = k.→b

Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để:

→AB = k.→AC

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ →a và →b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ →x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ →a và →b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho →x = h.→a + k.→b

IV. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm 0 gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị →e

Ta kí hiệu trục đó là (0;→e).

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục. Khi đó có duy nhất một số k sao cho →OM = k.→ Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm A và B trên trục (O; →e) . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a.→e . Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ →AB đối với trục đã cho và kí hiệu a = →e

Nhận xét:

• Nếu →AB cùng hướng với →e thì →AB = AB, còn nếu →AB ngược hướng với →e thì →AB = – AB.
• Nếu hai điểm A và B trên trục (O; →e) có tọa độ lần lượt là a và b thì →AB = b – a.

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ (O; →i, →j) gồm hai trục (O; →i) và (O; →j) vuông góc với nhau. Điểm gốc 0 chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O; →i) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; →j) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy . Các vectơ →i và →j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và |→i|=→|j|=1. Hệ trục tọa độ (O; →i, →j) còn được kí hiệu là Oxy .

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ →u tùy ý. Vẽ và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy.

Ta có →OA = →OA₁ + →OA₂, và cặp số duy nhất (x;y) để →OA₁ = x.→i, →OA₂ = y. →j

Như vậy →u = x→i + y→j

Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ →u đối với hệ tọa độ Oxy và viết →u = (x;y) hoặc →u(x;y).

Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ →u.

Như vậy:

→u = (x;y) ⇒ →u = x. →I + y.→j

Nhận xét:

Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ băng nhau và tung độ bằng nhau.

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ →OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số (x;y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi →OM = (x;y) .

Khi đó ta viết M(x;y) hoặc M = (x;y)

Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M

Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x_M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y_M.

M = (x; y) ⇒ →OM = x.→i + y.→j

Chú ý rằng, nếu MM₁∟Ox, MM₂∟Oy thì x = →OM₁; y = →OM₂.

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A(x_A;y_A) và B(x_B;Y_B).

Ta có →AB = (x_B – x_A; y_B – y_A)

3. Tọa độ của các vectơ →u + →v; →u – (→v); k.→u

Ta có các công thức sau:

Cho u = (u;u,), v = (v₁;v₂)

Khi đó:

• →u + →v = (u₁ + u₂; V₁ + V₂ )
• →u – (→y) = (µ₁ −u₂; V₁ − V₂) .
• k.→u = (ku,;ku,), k ∈ R

Nhận xét: Hai vectơ →u = (u;u,), →v = (v;v,) với v ≠ 0 cùng phương khi và chỉ khi:

4. Ứng dụng tính diện tích tam giác ΔABC với →AB = (a₁;b₁); AC=(a,,b₂) là:

5. Một số điều kiện xác định điểm khác

V. Bài tập luyện tập

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về vectơ để các em luyện tập và ôn luyện kiến thức:

Các dạng toán khác về vectơ được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn