Phương trình đường thẳng trong không gian – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực chi tiết
Phương trình đường thẳng trong không gian là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.
Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Phương trình đường thẳng trong không gian. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Cho đường thẳng Δ. Vectơ →u ≠ 0 gọi là véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng Δ nếu giá của nó song song hoặc trùng với Δ.
Chú ý:
- Nếu →u là VTCP của Δ thì k.→u ( k ≠ 0 ) cũng là VTCP của Δ
- Nếu đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP.
Các trường hợp đặc biệt:
| Đường thẳng | Vecto chỉ phương |
| Ox | →nOx = →i = (1; 0;0) |
| Oy | →nOy = →j = (0;1;0) |
| Oz | →nOz = →k = (0;0;1) |
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng Δ đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP →u = (a;b;c). Khi đó phương trình đường thẳng Δ có dạng:
(1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ, t được gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng Δ có phương trình (1).
- →u = (a;b;c) là một VTCP của Δ
- Điểm M ∈ Δ, suy ra M(x0 +at;y0 + bt;z0 + ct) .
3. Phương trình chính tắc
Cho đường thẳng Δ đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP →u = (a;b;c) với abc ≠ 0 . Khi đó phương trình đường thẳng Δ có dạng:
| (x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c (2) |
(2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ.
II. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng Δ đi qua M0, có VTCP →u và điểm M ∉ Δ.
Khi đó để tính khoảng cách từ M đến Δ ta có các cách sau:
- Cách 1: Sử dụng công thức:
| D(M;Δ) = [→MM0,→u]/ |→u| |
- Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với Δ. Tìm giao điểm H của (P) với Δ. Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.
- Cách 3: Gọi N ∈ d, suy ra tọa độ N theo tham số t. Tính MN theo t. Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ đi qua M0 có VTCP →u và Δ’ đi qua M0’ có VTCP →u’. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ được tính theo các cách sau:
- Cách 1: Sử dụng công thức:
| d(Δ,Δ’) = ([→u,→u’]. → [M0, M0’])/[→u,→u’]. |
- Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN. Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.
- Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa qua Δ và song song với Δ’ . Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên Δ’ đến (P).
III. VỊ TRÍ
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
d₁: (x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c đi qua M(x0; y0; z0) có VTCP →u1 = (a;b;c) và d2: (x – x0’)/a’ = (y – y0’)/b’ = (z – z0’)/c’ có VTCP →u’ = (a’;b’;c’).
Để xét vị trị tương đối của d1 và d2 ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho
Mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT →n(α) = (A; B; C) và đường thẳng d đi qua M(x0;y0;z0), có VTCP →ud = (a;b; c).
Để xét vị trị tương đối của d và (α), ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Phương pháp đại số:
Xét hệ phương trình:
Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được:
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0
⟺ (Aa + Bb + Cc).t = -(D + A.x0 + B.y0 + C.z0) (*).
Phương trình (*) là phương trình bậc nhất, ẩn t. Ta có:
- Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì d//(α).
- Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy nhất thì d cắt (α).
- Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t thì d⊂(α).
Chú ý:: Để tìm điểm chung của đường thăng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo t, sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x;y;z).
3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng:
(với t∈ R) và mặt cầu (S): (x – a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
Để xét vị trị tương đối của d và (α), ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến d .
- Bước 2:
| Mối quan hệ | Điều kiện |
| d không cắt (S) | d(I,d) > R |
| d tiếp xúc (S) | d(I,d) = R |
| d cắt (S) | d(I,d) < R |
Phương pháp đại số:
- Bước 1: Thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình (S), khi đó ta được phương trình bậc hai theo t.
- Bước 2:
+ Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm t thì d không cắt (S)
+ Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm t thì d tiếp xúc (S).
+ Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm t thì d cắt (S) .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x;y;z).
IV. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1; d2 lần lượt có các VTPT là →u1; →u2 .
Góc giữa d1 và d2 bằng hoặc bù với góc giữa →u1 và →u2.
Tức là:
| cos(d1,d₂) = |cos(→u₁,→u₂ )| = (→u₁.→u₂)/(|→u₁|.|→u₂|) |
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có VTCP →ud và mặt phẳng (α) có VTPT →n(α)
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d’ của nó trên (α).
Tức là:
| sin(d,(α)) = |sin(→ud,→n(α))| = (→ud.→n(α))/( (|→ud|.|→n(α)|) |
VI. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
VI. Bài tập
Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Phương trình đường thẳng trong không gian để các em luyện tập:
Các dạng toán khác về Phương trình đường thẳng trong không gian được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.