Phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 – Lý thuyết kèm bài tập có đáp án

Phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình học. Các bài toán về phương trình bậc 2 một ẩn chắc chắn sẽ xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi môn Toán. Chúng cũng sẽ chiếm khoảng 20 – 30% cơ cấu điểm số trong các bài thi, bài kiểm tra này.

Hãy cùng Tkbooks tìm hiểu về hương trình bậc hai một ẩn lớp 9 qua lý thuyết cũng như các bài tập có kèm đáp án trong bài viết dưới đây nhé1

I. Lý thuyết phương trình bậc hai một ẩn

1. Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Phương trình bậc hai một ẩn (thường gọi gọn là phương trình bậc hai) có dạng ax² + bx + c = 0 (a≠0) trong đó a; b; c được gọi là các hệ số và x được gọi là ẩn của phương trình.

Ví dụ 1: 2x² − 3x + 1 = 0 là một phương trình bậc hai với các hệ số là a = 2; b = -3; c = 1.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Công thức nghiệm (đầy đủ) của phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a≠0) (1)

Biệt thức delta: Δ = b² – 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = (-b + √Δ)/2a và x2 = (-b – √Δ)/2a

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

>>> Tham khảo thêm: Hàm số bậc 2 lớp 9 y = ax2 – Bài tập và đồ thị của nó

II. Bài tập giải phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 có đáp án

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn không dùng công thức nghiệm

+ Phương pháp

Có thể dùng một trong hai cách sau:

• Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
• Cách 2: Đưa phương trình về dạng [f(x)]² = [g(x)]².

+ Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 4x² + 9x = 0;

b) 9x² – 25 = 0;

c) x² + x – 6 = 0;

d) x² – 6x + 10 = 0.

Lời giải:

a) Nhận xét: Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.

4x² + 9x = 0 ⇔ x(4x + 9) = 0 => x∈{-9/4;0}.

b)

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi phương trình về phương trình tích.

9x² – 25 = 0 ⇔ (3x – 5)(3x + 5) = 0⇒x = {-5/3;5/3}.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng [f(x)]² = [g(x)]².

9x² – 25 = 0 ⇔ 9x² = 25 ⇔ 3x = ±5 ⇔ x = ±5/3.

c) Nhận xét: Ta sử dụng phương pháp tách ghép để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

x² + x – 6 = 0 ⇔ x² – 2x + 3x – 6 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 3) = 0 ⇔ x = 2 và x = -3.

d) Nhận xét: Sử dụng phương pháp tách ghép để xuất hiện hằng đẳng thức.

x² – 6x + 10 = 0 ⇔ x² – 6x + 9 + 1 = 0 ⇔ (x – 3)² = -1 (vô lí vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x ).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị m để phương trình 3x + m²x − 2m = 0 nhận x = −2 là nghiệm.

Lời giải:

Phương trình nhận x = −2 là nghiệm ⇔ 3.(−2)² + m².(−2) – 2m = 0 ⇔ m² + m – 6 = 0 ⇔ (m − 2)(m + 3) = 0 ⇔ m = 2 và m = -3.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

+ Phương pháp

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a≠0):

• Bước 1: Xác định các hệ số a,b,c và tính biệt thức Δ = b² − 4ac (công thức nghiệm).
• Bước 2: Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a.

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (-b + √Δ)/2a và x2 = (-b – √Δ)/2a.

Trường hợp b = 2b’, ta có thể tính Δ’ = b’² − ac (công thức nghiệm thu gọn).

+ Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a.

+ Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (-b’ – √Δ’)/a và x2 = (-b’ + √Δ’)/a.

+ Các ví dụ

Ví dụ 3: Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x² – 3x + 4 = 0;

b) 2x² – 9x – 56 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: Δ = 3² – 4.1.4 = -7 < 0 => phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: Δ = 529 => √Δ = 23 => phương trình có hai nghiệm:

x1 = (9 – 23)/4 = -7/2; x2 = (9 + 23)/4 = 8.

Ví dụ 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) x² – 8x + 7 = 0;

b) x² + 2√5x – 4 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: Δ’ = (−4)² –1.7 = 9 => Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =1; x2 =7.

b) Δ’ = 9 => phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −√5 − 3; x = −√5 + 3.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai

+ Phương pháp

Xét phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a≠0):

Với a = 0, phương trình có dạng bx + c = 0 (phương trình bậc nhất một ẩn);

– Nếu b≠0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -c/b.

– Nếu b = 0; c≠0 thì phương trình vô nghiệm.

– Nếu b = c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

* Với a≠0, phương trình có dạng ax+2 + bx + c = 0 (phương trình bậc hai một ẩn) có biệt thức Δ = b² – 4ac (hoặc Δ’ = b – ac):

– Nếu Δ < 0 (hoặc Δ’ <0) thì phương trình vô nghiệm.

– Nếu Δ = 0 (hoặc Δ’ =0 ) thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a (hoặc x1 = x2 = -b’/a).

– Nếu Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = (-b±√Δ)/2a (hoặc x1,2 = (-b’±√Δ’)/a).

+ Các ví dụ

Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình:

a) x² + x – m = 0;

b) 3x² – 4mx + m2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: Δ = 1 + 4m.

TH1: Δ < 0 ⇔ 1 + 4m < 0 ⇔ m < -1/4 thì phương trình vô nghiệm.

TH2: Δ = 0 ⇔ m = -1/4 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -1/2.

TH3: Δ > 0 ⇔ m > -1/4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = ((-1 – √(1 + 4m))/2; x2 = ((-1 + √(1 + 4m))/2

Vậy m < -1/4 thì phương trình vô nghiệm.

m = -1/4  thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -1/2.

m > -1/4  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ((-1 – √(1 + 4m))/2; x2 = ((-1 + √(1 + 4m))/2.

b) Ta có: Δ’ = (2m)² – 3m² = m² ≥ 0 với mọi m.

TH1: m = 0 => Δ’= 0 => phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 0.

TH2: m≠0 => Δ’ > 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = m; x2 = m/3.

Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

+ Phương pháp

Xác định dấu của biệt thức Δ = b² − 4ac (hoặc Δ’ = b² – ac):

– Nếu Δ < 0 (hoặc Δ’ < 0) thì phương trình vô nghiệm.

– Nếu Δ = 0 (hoặc Δ’ = 0) thì phương trình có nghiệm kép.

– Nếu Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

+ Các ví dụ

Ví dụ 6: Xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) x² – mx – 2 = 0;

b) x² + (2m +3)x + 3m = 0;

c) x² + mx + m² + 1 = 0.

Lời giải:

a) Δ = m² + 8 > 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Δ = 4m² + 9 > 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Δ = -3m² – 4 < 0 => phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 7: Cho phương trình mx² – 2(m + 1)x + m + 2 = 0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.

Lời giải:

Với m = 0 => phương trình có dạng: −2x + 2 = 0 ⇔ x = 1.

Với m ≠ 0 => phương trình là phương trình bậc hai.

Δ’ = [-(m+1)²] – m(m + 2) = 1 > 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.

Dạng 5: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Phương pháp

Xét phương trình có dạng ax² + bx + c = 0:

– Phương trình có nghiệm kép ⇔ a≠0 và Δ = 0.

– Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ a≠0 và Δ > 0.

– Phương trình có đúng một nghiệm ⇔ a = 0; b≠0 và a≠0; Δ = 0.

– Phương trình vô nghiệm ⇔ a = 0; b = 0; c≠0 và a≠0; Δ < 0.

+ Các ví dụ

Ví dụ 8: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

a) x² – 2mx + m2 + 3m = 0;

b) (m – 2)x² + 3x – 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 1≠0 và Δ’ = -3m > 0 ⇔ m < 0.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m – 2≠0 và Δ = 4m + 1 > 0 ⇔ m≠2 và m > -1/4.

Dạng 6: Xác định tham số để hai phương trình có nghiệm chung, hai phương trình tương đương

+ Phương pháp

Hai phương trình có nghiệm chung:

• Bước 1: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x0 vào hai phương trình để được hệ hai phương trình với ẩn là tham số m.
• Bước 2: Thực hiện phép trừ các vế của hai phương trình trong hệ (lưu ý: hệ số x0² của hai phương trình phải như nhau để triệt tiêu x0²). Ta tìm x0 theo tham số m.
• Bước 3: Thay x0 vào hai phương trình ban đầu để tìm được m. Sau đó, thử lại để kiểm tra xem hai phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.

* Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiêm.

• Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm.
• Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó, tìm điều kiện của tham số để hai phương trình có nghiệm chung. Sau đó, thay trở lại để kiểm tra xem hai tập nghiệm có bằng nhau hay không và kết luận.

+ Các ví dụ

Ví dụ 9: Cho hai phương trình x² + mx + 1 = 0 và x² – x – m = 0.

a) Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (x² + mx + 1)(x² – x − m) = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải:

x² + mx + 1 = 0 (1)

x² – x – m = 0 (2)

a) Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).

Suy ra:

x0² + mx0 + 1 = 0; x0² – x0 – m = 0 => mx0 + x0 + 1 + m = 0 ⇔ x0(m + 1) = -(m + 1).

Nếu m = -1 thì hai phương trình (1) và (2) giống nhau nhưng không thỏa mãn vì phương trình x² – x + 1 = 0 vô nghiệm.

Nếu m ≠-1 => x0 = −1. Thay x0 = −1 vào x0² + mx0 + 1 = 0 ta được:

(-1)² + m(-1) + 1 = 0 ⇔ m = 2.

Khi m = 2, ta có:

x² + 2x + 1 = 0 => S1 = {-1}; x² – x – 2 = 0 => S2 = {-1;2} có nghiệm chung x = -1.

Vậy m = 2 thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

b) Để phương trình (x² + mx + 1)(x² – x − m) = 0 có bốn nghiệm phân biệt thì hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung và mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ1 = m² – 4 > 0; Δ1 = 1 + 4m > 0; m≠2 ⇔ m > 2; m > -1/4; m≠2 hoặc m < -2; m > -1/4; m≠2 ⇔ m > 2.

Vậy m > 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập thực hành thêm về phương trình bậc hai một ẩn lớp 9

Dưới đây là một số bài tập thực hành thêm về phương trình bậc hai một ẩn để các em làm ở nhà:

Hy vọng những kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 ở trên sẽ giúp các em đạt được điểm số cao hơn trong các bài thi và bài kiểm tra Toán trên lớp.

Để tìm hiểu thêm về kiến thức Toán lớp 9 trong học kỳ 2, các em nên mua cuốn sách Làm chủ kiến thức Toán 9 ôn thi vào 10 phần Đại số của Tkbooks nhé!

Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1uaOJCek1Mpmm-UbFU3hEIVzQ0P6PPaoC/view

TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo lớp 9 hàng đầu tại Việt Nam.

TKbooks.vn