Khối đa diện là gì? Tính chất và ứng dụng của phép đa diện

Khối đa diện là gì, tính chất và ứng dụng của phép đa diện là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Khối đa diện, tính chất và ứng dụng của phép đa diện. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

Khối lăng trụ: là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.
Khối chóp: là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.
Khối chóp cụt: là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

II. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

1. Hình đa diện là gì?

Hình đa diện: là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có 1 cạnh chung. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 đa giác.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.

2. Khối đa diện là gì?

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.

Ví dụ

– Các hình dưới đây là những khối đa diện:

– Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

Giải thích:

Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt;

Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác;

Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác.

III. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU

1. Phép dài hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

a) Phép tịnh tiến theo vectơ →v

Phép tịnh tiến theo vectơ →v, là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho →MM’ = →v

Kí hiệu là T_→v

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P)

Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp:

Hình hộp chữ nhật: có 3 kích thước khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng.

Hình lăng trụ tam giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng.

Hình chóp tam giác đều (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có 3 mặt phẳng đối xứng.

Tứ diện đều: có 6 mặt phẳng đối xứng.

Hình chóp tứ giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng.

Hình bát diện đều: có 9 mặt phẳng đối xứng.

Hình lập phương: có 9 mặt phẳng đối xứng

c) Phép đối xứng tâm O

Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm 0 thàn chính nó, biến mỗi điểm M khác thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì C được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng Δ

Phép đối xứng qua đường thẳng Δ là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng Δ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc A thành điểm M’ sao cho Δ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng Δ biến hình (H) thành chính nó thì Δ được gọi là trục đối xứng của (H) .

Nhận xét:

Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Khi đó:

Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm 0 hình chóp A.A’B’C’D’ biến thành hình chóp C’.ABCD).
Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ AA’D’.BB’C’).

2. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này đa diện kia.

IV. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁) và (H₂) sao cho (H₁) và (H₂) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂).

Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện (H₁) và (H₂) để được khối đa diện (H) .

Ví dụ 1: Với khối chóp tứ giác S.ABCD, xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD

Ta thấy rằng:

Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại).
Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp S.ABC và S.ACD hay hai khối chóp S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối chóp S.ABCD

Ví dụ 2: Cắt khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC)

Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện A’ABC và A’BCC’B’.

Nếu ta cắt khối chóp A’BCC’B’ bởi mặt phẳng (A’B’C) thì ta chia khối chóp A’BCC’B’ thành hai khối chóp A’BCB’ và A’CC’B’.

Vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối tứ diện là A’ABC, A’BCB’ và 4’CC’B’.

V. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 định.
Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là định chung của ít nhất 3 cạnh.
Kết quả 5: Hình chóp có mặt đáy là n -giác thì có (n + 1) đỉnh, (2n) cạnh và (n + 1) mặt.
Kết quả 6: Hình lăng trụ có mặt đáy là n -giác thì có (2n) đỉnh, (3n) cạnh và (n+2) mặt.
Kết quả 7: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
Kết quả 8: Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của (H) là lẻ thì p phải là số chẵn.
Kết quả 9: Cho (H) là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của (H) là C = (p.M)/2.
Kết quả 10: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Kết quả 11: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.
Kết quả 12: Nếu khối đa diện có mỗi đinh là đỉnh chung của 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn (tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn).
Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có:

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc băng số cạnh.

VI. Bài tập

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Khối đa diện để các em luyện tập:

Các dạng toán khác về Khối đa diện là gì, tính chất và ứng dụng của phép đa diện được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn