Hệ tọa độ trong không gian – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực chi tiết

Hệ tọa độ trong không gian là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Hệ tọa độ trong không gian. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

1. Định nghĩa

→u = (x; y; z) ⟺ →u = x.→I + y.→j + z.→k

với i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz.

2. Tính chất

Cho hai vectơ a = (a₁; a₂; a₃) , b = (b₁ ;b₂ ;b₃) và k là số thực tùy ý, ta có:

II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

1. Định nghĩa:

M(x;y;z) ⟺ →OM = (x;y;z)

(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ).

Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(x;y;z) ta có các khẳng định sau:

M ≡ O ⟺ M (0;0;0). M ∈ (Oxy) ⟺ z = 0, tức là M (x;y;0). M ∈ (Oyz) ⟺ x=0, tức là M(0;y;z) M∈ (Oxz) ⟺ y=0, tức là M(x;0;z). M∈Ox ⟺ y = z = 0, tức là M(x;0;0) M∈Oy ⟺ x = z = 0, tức là M (0;y;0). M∈Oz ⟺ x = y = 0, tức là M(0;0;z)

2. Tính chất:

Cho bốn điểm không đồng phẳng A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B), C(x_C;y_C;z_C),) và D(x_D;y_D;z_D).

→AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA). AB = |→AB| = √[(xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2]

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

I = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là:

G((xA + xB + xC + xD)/4; (yA + yB + yC + xD)/4; (zA + zB + zC + zD)/4)

Chia tỉ lệ đoạn thẳng: M chia AB theo tỉ số k nghĩa là:

→MA = k.→MB

Tọa độ điểm M là:

III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ →a = (a₁; a₂; a₃), →b = (b₁ ;b₂ ;b₃)

Tích có hướng của hai vectơ →a và →b là một vectơ, kí hiệu là [→a, →b] và được xác định như sau:

2. Tính chất

• a cùng phương với b khi và chỉ khi [→a,→b] = 0.
• [→a,→b] vuông góc với cả hai vectơ a và b.
• [→b, →a] = – [→a,→b]
• [→a,→b] = |→a|.|→b|.sin(→a;→b)

3. Ứng dụng

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ:

+) Ba véctơ →a; →b; →c đồng phẳng ⟺ [→a,→b].→c = 0.

+) Bốn điểm A, B,C,D tạo thành tứ diện ⟺ [→AB,→AC].→AD ≠ 0

Diện tích hình bình hành: SABCD = |[→AB,→AD]| Tính diện tích tam giác: SABC = ½.|[→AB,→AC]| Tính thể tích hình hộp: VABCD.A’B’C’D’ = [→AB,→AC].→AD Tính thể tích tứ diện: VABCD = 1/6.[→AB,→AC].→AD

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Định nghĩa phương trình mặt cầu

• Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:

(S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

Xét phương trình:

x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*). Ta có (*) ⟺ (x2 + 2ax) + (y2 + 2by) + (z2 + 2cz) = -d ⟺ (x + a)² + (y + b)² + (z + c)² = -d + a² + b² + c²

• Để phương trình (*) là phương trình mặt cầu ⟺ a² + b² + c² > d
• Khi đó (S) có tâm I(-a;-b;-c) và bán kính R = √(a² + b² + c² – d)
• Đặc biệt: (S): x² + y² + z² = R² suy ra (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R.

2. Vị trí tương đối của hai mặt cầu

V. Bài tập

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Hệ tọa độ trong không gian để các em luyện tập:

Các dạng toán khác về Hệ tọa độ trong không gian được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn