Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Lý thuyết, bài tập và cách giải

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 15% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

a) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x

• sin x: R → R
• x |→ y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu: y = sin x.

Tập xác định là: R.

b) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x

• cos x: R→ R
• x |→y = cos x

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu: y = cos x.

Tập xác định là: R.

c) Hàm số tang

Là hàm số được xác định bởi y = sinx/cosx (cosx ≠ 0), ký hiệu y = tan x.

d) Hàm số côtang

Là hàm số được xác định bởi y = cos x/sin x, ký hiệu y = cotx.

Tập xác định là: D = R\{kπ, k∈Z)

2. Tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số lượng giác

a) Định nghĩa

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D. ta có:

x – T ∈ D và x + T∈

f(x+T) = f(x).

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = côsinx tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T = π.

Chú ý:

Hàm số y= f₁(x) tuần hoàn với chu kì T₁ và hàm số y = f₂(x) tuần hoàn với chu kì T₂, thì hàm số y = f₁(x) ± f₂(x) tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂.

3. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

a) Hàm số y sin x

• Tập xác định: D = R , có nghĩa xác định với mọi x∈R;
• Tập giá trị: T = [−1;1], nghĩa là −1 < sin x < 1
• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sinx với k∈Z.
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 + k2π; π/2 + k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 + k2π;3π/2 + k2π), k∈Z.
• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

b) Hàm số y = cos x

• Tập xác định: D = R, có nghĩa xác định với mọi x∈R .
• Tập giá trị: T =[−1;1], nghĩa là −1 < cosx < 1.
• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x với k∈Z.
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π;k2π) và nghịch biển trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), k∈Z.
• Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

c) Hàm số y = tan x

• Tập xác định: D =R\{π/2 + kπ, k∈Z}.
• Tập giá trị: T = R
• Hàm số tuần hoàn với chu kì π, nghĩa là tan(x + kπ) = tan x với k∈Z.
• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

d) Hàm số y = cot x

• Tập xác định: D =R\{kπ, k∈Z}
• Tập giá trị: T =R
• Hàm số tuần hoàn với chu kì π, nghĩa là cot(x + kπ) = cot x với k∈Z.
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (kπ;π + kπ), k∈Z.
• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = a

• Trường hợp |a| > 1 → phương trình vô nghiệm vì -1 < sinx < 1 với mọi x.
• Trường hợp |a| ≤  1 → phương trình có nghiệm, cụ thể: a∈{0; ±1/2; ±√2/2; ±√3/2; ±1}

Khi đó:

Chú ý:

sinu = -sin v ⟺ sinu = sin (-v)

sin u = cos v ⟺ sin u = sin (π/2 – v)

sinu = – cos v ⟺ sin u = sin (v – π/2)

Các trường hợp đặc biệt:

sin x = 0 ⟺ x = kл (k € Z).

sin x = 1⟺x = π/2 + k2л (k € Z).

sin x = -1⟺x = -π/2 + k2л (k € Z).

2. Phương trình cos x = a

• Trường hợp |a| > 1→ phương trình vô nghiệm, vì −1 < cos x <1 với mọi x.
• Trường hợp |a| ≤ 1 → phương trình có nghiệm, cụ thể:

Chú ý:

cosu = -cos v ⟺ cos u = cos(π – v).

cos u = sin v ⟺ cos u = cos (π/2 – v)

cos u = -sin v ⟺ cos u = cos (π/2 + v).

Các trường hợp đặc biệt:

cos x = 0 ⟺ x = π/2 + kπ, (k € Z).

cos x = 1 ⟺ x = k2π, (k € Z).

cos x = -1 ⟺ x = π + k2π, (k € Z).

3. Phương trình tan x = a

Điều kiện: x ≠ π/2 + kπ, (k € Z).

Khi đó:

Chú ý:

tan u = – tan v ⟺ tan u = tan(-v).

tan u = cot v ⟺ tan u = tan (π/2 – v).

tan u = – cot v ⟺ tan u = tan (π/2 + v).

Các trường hợp đặc biệt:

tan x = 0 ⟺ x = kπ, (k € Z).

tan x = ±1 ⟺ x = π/4±kπ, (k € Z).

4. Phương trình cot x = a

Điều kiện: x ≠ π + kπ, (k € Z).

Các trường hợp đặc biệt:

cot x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ, (k € Z).

cot x = -1 ⟺ x = -π/4 + kπ, (k € Z).

cot x = 0 ⟺ x = π/2 + kπ, (k € Z).

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình có dạng:

a sin x + b cos x = c

Phương pháp: Điều kiện để phương trình có nghiệm:

a² + b² ≥ c².

Khi đó phương trình trở thành:

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Phương trình có dạng:

a sin² x + b sin x cos x + c cos²x = 0

Phương pháp:

Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không?

Khi cosx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos’x ta thu được phương trình:

a tan² x + b tan x + c = 0.

Đây là phương trình bậc hai đối với tanx mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt:

Phương trình có dạng: a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d (với d ≠ 0).

Phương trình ⟺ a.sin’ x + b.sin xcosx + c.cos’x = d.1

⟺ a.sin²x + b.sin x cos x + c.cos²x = d(sin² x + cos²x)

⟺ (a-d) sin²x + b.sin xcos x + (c-d) cos²x = 0.

4. Phương trình thuận nhất bậc ba đối với sin x và cos x

Phương trình có dạng:

a.sin3 x + b.sin x cos2 x + c. sin xcos2 x + d.cos3 x + e.sin x + f.cos x = 0

Phương pháp:

• Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không?
• Khi cosx ≠ 0, chia hai về phương trình cho cos³ x ta thu được phương trình:

1/cos2 x = 1 + tan2 x

Một số điều cần chú ý khi giải phương trình lượng giác:

Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

Chú ý:

V. Một số bài tập về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác để các em luyện tập:

1. Bài tập về hàm số lượng giác

2. Bài tập về phương trình lượng giác

 

Các dạng toán khác về Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn  cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn