Hàm số bậc 2 – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực kỳ chi tiết

Hàm số bậc 2 là kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 10. Phần kiến thức này thường xuyên xuất hiện trong các bài thi Toán THPT nên các em cần cực kỳ lưu tâm.

Dưới đây là toàn bộ lý thuyết, bài tập và lời giải của các bài toán về hàm số bậc 2. Các em hãy lưu lại và ôn tập nhiều lần để nắm chắc kiến thức nhé!

1. Hàm số bậc 2 là gì?

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức y = ax² + bx + c (với a ≠ 0).

Tập xác định của hàm số này là D = R.

Hàm số y = ax² (với a ≠ 0 ) đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.

Ví dụ:

Dưới đây là một số ví dụ về hàm số bậc 2 để các em dễ hình dung:

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (với a≠0) là một đường parabol có định là điểm I(-b/2a; -Δ/4a), có trục đối xứng là đường thẳng x = -b/2a. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0; quay xuống dưới nếu a < 0.

Cách vẽ:

Để vẽ parabol y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), ta thực hiện các buớc

• B1: Xác định tọa độ của đỉnh I(-b/2a; -Δ/4a).
• B2: Vẽ trục đối xứng x = -b/2a.
• B3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0;c) ) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đô thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

• B4: Vẽ parabol

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a ( a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

3. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

Từ đó, ta có định lí dưới đây:

• Nếu a > 0 thì hàm số y = ax² + bx + c nghịch biến trên khoảng (-∞;-b/2a); đồng biến trên khoảng (-b/2a; +∞ ); -Δ/4a là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Nếu a < 0 thì hàm số y = ax² + bx + c đồng biến trên khoảng (-∞;-b/2a); nghịch biến trên khoảng (-b/2a; +∞ ); -Δ/4a là giá trị lớn nhất của hàm số.

Ví dụ:

Một số mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai được sử dụng trong nhiều mô hình thực tế. Dưới đây ta xét một số mô hình đơn giản thường gặp.

Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều

X = X₀ + V₀t + (at²)/2

trong đó X₀ là toạ độ ban đầu của vật, V₀ là vận tốc ban đầu của vật và a là gia tốc của vật (a cùng dấu với V₀ nếu vật chuyển động nhanh dần đều và ngược dấu với V₀ nếu vật chuyển động chậm daafn đều). Như vậy toạ độ x(t) của vật là một hàm số bậc hai của thời gian t.

Nói riêng, khi bỏ qua sức cản của không khi, nếu ném một vật lên trên theo phương thẳng đứng thì chuyển động của vật sẽ chỉ chịu ảnh hưởng của trọng lực và vật sẽ có gia tốc bằng gia tốc trọng trường. Khi đó độ cao (so với mặt đất) của vật tại thời điểm t cho bởi phương trình:

Y(t) = Y₀ + V₀t – (1/2)gt²

trong đó Y₀ (mét) là độ cao ban đầu của vật khi ném lên. V₀ (m/s) là vận tốc ban đầu của vật và g là gia tốc trọng trường (g – 9,8 m/s²).

Đặc biệt, khi bỏ qua sức cản không khí, nếu một vật rơi tự do từ độ cao Y₀ (mét) so với mặt đất thì độ cao Y₀ (mét) của nó tại thời điểm t (giây) cho bởi công thức:

Y(t) = Y₀ – (1/2)gt²

Phương trình chuyển động của vật ném xiên

Một vật được ném từ độ cao h (mét) so với mặt đất, với vận tốc ban đầu V₀ (m/s) hợp với phương ngang một góc a. Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình:

Y = (-g/2V₀²cos²α)x² + xtanα + h

ở đó x (mét)là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném. y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường.

Như vậy quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một parabol.

Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạo của viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàn, hạt nước bán lên từ đài phun nước….. đều có dạng đường parabol.

Doanh thu bán hàng

Trong kinh tế, doanh thu bán hàng là số tiền nhận được khi bán một mặt hàng. Doanh thu R bằng đơn giá x của mặt hàng (tức là giá bán của một sản phẩm) nhân với số lượng n sản phẩm đã bán được, tức là

R = x.n

Định luật nhu cầu khẳng định rằng giữa x và n có mối liên hệ với nhau khi cái này tăng thì cái kia sẽ giảm. Phương trình liên hệ giữa x và n gọi là phương trình nhu cầu. Nếu phương trình nhu cầu là liên hệ bậc nhất, tức là n = a – bx (a, b là những hằng số dương) thì doanh thu bán hàng sẽ là hàm số bậc hai của đơn giá:

R_(x) = x.n = x(a – bx) = ax – bx²

Khi đó người ta thường quan tâm đến việc tìm giá bán x đề doanh thu đạt cực đại, hoặc tìm giá bán x để doanh thu vượt một mức nào đó.

Các bài tập luyện tập về hàm số bậc 2

Các em hãy làm bài tập luyện tập về hàm số bậc 2 để nắm chắc lý thuyết về phần này hơn.

Kiến thức về hàm số bậc 2 được trình bày rất chi tiết và dễ hiểu trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one. Các em hãy mua ngay cuốn sách này để nắm trọn kiến thức môn Toán trong chương trình THPT nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh THPT hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn