Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9

Bài viết Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 dưới đây bao gồm lý thuyết cơ bản, hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán bằng cách lập phương trình qua các ví dụ minh họa từ dễ đến khó, và một loạt bài tập thực hành giúp các em rèn luyện và áp dụng kiến thức vào thực tiễn.

Mời các em tham khảo!

I. Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9

Bước 1: Lập phương trình.

• Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn.
• Lập phương trình theo ẩn dựa vào các dữ kiện đã biết.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: So sánh kết quả nghiệm của phương trình với điều kiện bài toán. Kết luận, nêu rõ đơn vị của đáp số.

II. Các dạng toán về giải toán bằng cách lập phương trình

1. Dạng 1: Bài toán chuyển động

+ Phương pháp

Kẻ bảng gồm các dữ kiện vận tốc, thời gian và quãng đường.

* Chú ý. Quãng đường = Vận tốc × thời gian.

• Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước.
• Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90km. Khi từ B trở về 4, ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc lúc đi là 5km/h. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính vận tốc của ô tô đi từ A đến B.

Phân tích đề bài:

	Vận tốc	Thời gian	Quãng đường
A đến B	x	90/x	90
B về A	x + 5	90/(x + 5)	90

Lời giải:

Gọi vận tốc của ô tô đi từ A đến B là x (km/h, x > 0).

Vận tốc ô tô đi từ B về A là x + 5 (km/h).

Thời gian ô tô đi từ A đến B là 90/x (giờ).

Thời gian ô tô đi từ B về A là 90/(x + 5) (giờ)

Thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút = ¼ (giờ) nên ta có phương trình:

90/x – 90/(x + 5) = ¼ →x² + 5x – 1800 = 0 ó x = 40 (TM) và x = – 45 (KTM)

Vậy vận tốc của ô tô đi từ A đến B là 40km/h.

Ví dụ 2: Hai bến sông A và B cách nhau 48km. Một ca nô đi từ A đến B rồi quay A. Thời gian cả đi lẫn về của ca nô là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc dòng nước bằng 4km/h.

Phân tích đề bài:

	Vận tốc	Thời gian	Quãng đường
Xuôi dòng	x + 4	48/(x + 4)	48
Ngược dòng	x – 4	48/(x – 4)	48

Lời giải:

Gọi vận tốc của ca nô đi nước yên lặng là x (km/h, x > 4).

Vận tốc của ca nô đi xuôi dòng là x + 4(km/h).

Vận tốc của ca nô đi ngược dòng là x − 4 (km/h).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 48/(x+4) (giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng là 48/(x – 4) (giờ).

Thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ) nên ta có phương trình:

48/(x + 4) – 48/(x – 4) = 5 → 5x² – 96x – 80 = 0 ó x = 20 (TM) và x = – 0,8 (KTM).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 20km/h.

2. Dạng 2: Bài toán công việc liên quan đến năng suất

+ Phương pháp

Tổng khối lượng công việc = Năng suất × thời gian thực hiện.

+ Các ví dụ

Ví dụ 3: Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Thực tế khi chở hàng đội đã bổ sung thêm 3 xe nên mỗi xe đã chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? (Biết mỗi xe chở được số hàng có khối lượng như nhau).

Phân tích đề bài:

	Số xe	Số tấn/xe	Tổng số tấn
Dự định	x	36/x	36
Thực tế	x + 3	36/(x + 3)	36

Lời giải:

Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe, x∈N*).

Số hàng mỗi xe cần chở theo dự định là 36/x (tấn)

Số xe của đội thực tế là x+3 (xe).

Số hàng mỗi xe cần chở theo thực tế là 36/(x + 3) (tấn).

Mỗi xe đã chở ít hơn 1 tấn so với dự định nên ta có phương trình:

36/x – 36/(x + 3) =1 → x² + 3x -108 = 0 ó x = 9 (TM) và x = – 12 (KTM)

Vậy số xe ban đầu là 9 xe.

Ví dụ 4: Một công nhân phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian quy định. Sau 2 giờ làm với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ làm được thêm 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hoàn thành xong sớm hơn so với kế hoạch là 1 giờ 36 phút. Tính số sản phẩm người đó dự định làm được trong mỗi giờ.

Phân tích đề bài:

	Năng suất	Thời gian	Tổng sản phẩm
Dự định	x	120/x	120
Thực tế	x	2	2x
	x + 3	(120 – 2x)/(x + 3)	120 – 2x

Lời giải:

Gọi số sản phẩm mỗi giờ làm được theo dự định là x (sản phẩm, x∈N*).

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là 120/x (giờ).

Số sản phẩm làm được trong 2 giờ đầu là 2x (sản phẩm).

Số sản phẩm làm được sau khi cải tiến kĩ thuật là 120 − 2x (sản phẩm).

Số sản phẩm mỗi giờ làm được khi cải tiến kĩ thuật là x + 3 (sản phẩm).

Thời gian hoàn thành sau khi cải tiến kĩ thuật là (120 – 2x)/(x + 3) (sản phẩm).

Vì người đó đã hoàn thành xong sớm hơn so với kế hoạch là 1 giờ 36 phút = 8/5 (giờ) nên có phương trình:

2 + (120 – 2x)/(x + 3) + 8/5 = 120/x → 8x² + 54x – 1800 = 0 ó x = 12 (TM) và x = – 18,75 (KTM)

Vậy người đó dự định làm 12 sản phẩm mỗi giờ.

3. Dạng 3: Bài toán công việc liên quan đến làm chung, làm riêng

+ Phương pháp

Coi cả công việc là 1.

Năng suất = 1: Thời gian hoàn thành

+ Các ví dụ

Ví dụ 5: Hai công nhân cùng làm một công việc sau 12 giờ thì xong. Họ làm chung trong 4 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác. Người thứ hai làm xong công việc còn lại trong 10 giờ. Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc?

Lời giải:

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ, x > 12).

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được 1/x (công việc).

Trong 1 giờ cả hai người làm được 1/12 (công việc).

Trong 1 giờ người thứ hai làm được 1/12 – 1/x (công việc).

Hai người làm chung 4 giờ, người thứ hai làm nốt trong 10 giờ xong công việc nên ta có phương trình:

4/12 + 10.(1/12 – 1/x) = 1 → x = 60 (TM).

Vậy người thứ nhất làm một mình thì 60 giờ xong công việc.

Trong 1 giờ người thứ hai làm được 1/12 – 1/60 = 1/15 (công việc).

Người thứ hai làm một mình thì 15 giờ xong công việc.

Ví dụ 6: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?

Lời giải:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 6).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1/x (bể), cả hai vòi chảy được 1/6 (bể), vòi thứ hai chảy được 1/6 – 1/x (bể).

Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 2/5 bể nên ta có phương trình:

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 giờ thì đầy bể.

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được 1/6 – 1/10 = 1/15 (bể)

Vòi thứ hai chảy một mình trong 15 giờ thì đầy bể.

4. Dạng 4: Bài toán có nội dung hình học

+ Phương pháp

Sử dụng các công thức tính chu vi, diện tích và một số tính chất của các hình đặc biệt.

+ Các ví dụ

Ví dụ 7: Một hình chữ nhật có diện tích 80m². Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng lên 2m thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Phân tích đề bài:

	Chiều dài	Chiều rộng	Diện tích
Ban đầu	x	80/x	80
Khi thay đổi	x – 2	80/x + 2	(x – 2)(80/x + 2)

Lời giải:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m, x > 2).

Chiều rộng hình hình chữ nhật là 80/x (m).

Chiều dài hình chữ nhật khi giảm 2m là x + 2 (m).

Chiều rộng hình chữ nhật khi tăng lên 2m là 80/x + 2 (m).

Vì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

(x – 2)(80/x + 2) = 80 → 2x² – 4x – 160 = 0 ó x = 10 (TM) và x = – 8 (KTM).

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 10m. Chiều rộng hình chữ nhật là 10 − 2 = 8m.

Ví dụ 8: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 10m, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác.

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (m, x > 0).

Độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m).

Theo định lý Py-ta-go, ta có: x² + (x + 2)² = 10² ó x = 6 (TM) và x = – 8 (KTM).

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 6m và 8m.

5. Dạng 5: Một số dạng bài toán khác

Ví dụ 9: Bác Năm gửi tiết kiệm 20.000.000 đồng vào ngân hàng. Sau hai năm, bác Năm nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là 22.472.000 đồng. Hỏi bác Năm đã gửi tiết kiệm với lãi suất bao nhiêu phần trăm một năm, biết rằng số tiền lãi của năm trước sẽ được cộng vào vốn để tính lãi năm sau.

Lời giải:

Gọi lãi suất hàng năm là x (x > 0). Sau một năm số tiền cả gốc lẫn lãi là:

20.000.000 + 20.000.000x = 20000000.(1+ x) (đồng).

Sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là: 20.000.000.(1 + x) + 20.000.000.x.(1 + x) (đồng).

Vì sau hai năm, bác Năm nhận được 22.472.000 đồng nên ta có phương trình:

20000000.(1 + x) + 20.000.000.x.(1 + x) = 22.472.000 → x = 0.06 (TM) và x = -2,06 (KTM).

Vậy bác Năm gửi với lãi suất 0,06 = 6%.

Ví dụ 10: Bác Bảy vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để sản xuất trong thời hạn một năm. Lẽ ra đúng một năm sau bác phải trả cả tiền vốn lẫn tiền lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số tiền lãi của năm đầu được gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác Bảy phải trả tất cả 121 triệu đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Lời giải:

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x (%/năm, x > 0).

Số tiền lãi bác Bảy phải trả sau một năm là 100x% = x (triệu đồng).

→ số tiền bác Bảy phải trả sau một năm là 100 + x (triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào với tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác Bảy phải trả sau hai năm là (100 + x)x% ( triệu đồng).

Hết hai năm bác Bảy phải trả tất cả 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

100 + x + (100 + x)x% = 121 ó x² + 200x – 2100 = 0 ó x = 10 (TM) và x = – 210 (KTM).

Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng đó là 10%/ năm.

Ví dụ 11: Trung tâm thương mại VC của thành phố NT có 100 gian hàng. Nếu mỗi gian hàng của Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100 triệu đồng một năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết. Biết rằng, cứ mỗi lần tăng giá 5% tiền thuê mỗi gian hàng một năm thì trung tâm thương mại VC có thêm 2 gian hàng trống. Hỏi người quản lý phải quyết định giá thuê mỗi gian hàng là bao nhiêu một năm để doanh thu của trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên x (triệu đồng) (x > 0).

Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là 100 + x (triệu đồng).

Cứ mỗi lần tăng 5% tiền thuê mỗi gian hàng (tăng 5%.100 = 5 triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng x triệu đồng thì có thêm 2x/5 gian hàng trống.

Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là 100 – 2x/5 (gian).

Số tiền thu được là (100 + x)(100 – 2x/5) (triệu đồng).

(100 + x)(100 – 2x/5) = 10000 – 60x – 2x²/5 = -2/5(x – 75)² + 12250  ≤ 12250

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 75.

Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá 100 + 75 = 175 triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại VC trong năm là lớn nhất.

III. Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9

1. Một xe tải đi từ A đến B cách A là 270km. Sau 45 phút, một ô tô cũng khởi hành từ A để đi đến B. Hai xe đến B cùng một lúc và vận tốc ô tô hơn vận tốc xe tải là 5km / h. Tính vận tốc mỗi xe.
2. Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe tải đi từ B đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô là 5km / h. Hai xe gặp nhau tại vị trí cách B là 300km. Tính vận tốc của mỗi xe biết độ dài quãng đường giữa hai thành phố A và B là 645km.
3. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu người đó đi với 48km / h thì sẽ đến sớm hơn dự định là 1 giờ. Nếu người đó đi với vận tốc 60km / h thì sẽ đến sớm hơn dự định là 2 giờ. Tính độ dài quãng đường AB.
4. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B. Cùng lúc đó, một người cũng đi bộ từ bến A đến bến B dọc theo bờ sông. Sau khi ca nô đi được 24km thì quay ngược lại gặp người đi bộ tại vị trí cách A 8km. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc dòng nước đều bằng 4km/h.

Kiến thức về giải bài toán bằng phương pháp lập phương trình lớp 9 ở trên được trình bày rất chi tiết và cụ thể trong cuốn sách Làm chủ kiến thức Toán 9 ôn thi vào 10 phần Đại số của TKbooks. Các em hãy nhanh tay sở hữu cuốn sách này để học môn Toán tốt hơn và đạt điểm cao hơn nữa nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh lớp 9 hàng đầu tại Việt Nam!

Tkbooks.vn