Đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 – Lý thuyết, các dạng bài tập kèm lời giải chi tiết
Đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 là phần kiến thức quan trọng trong môn Toán lớp 7 ở học kỳ 2. Phần kiến thức này chắc chắn sẽ xuất hiện trong bài thi học kỳ nên các em cần ôn tập kỹ để đạt điểm cao nhé!
Dưới đây là lý thuyết, các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 kèm lời giải chi tiết. Mời các em tham khảo!
I. Lý thuyết về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7
1. Định nghĩa
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = ax (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a.
Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a (a ≠ 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1/a.
Khi đó ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
2. Tính chất
Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì:
Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = … = a.
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
y1/y2 = x1/x2, y1/y3 = x1/x3, y2/y3 = x2/x3,…
II. Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7
Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận. Xác định hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn đại lượng tỉ lệ thuận
+ Phương pháp
Bước 1: Xác định hai đại lượng x, y và hệ số tỉ lệ k.
Bước 2: Sử dụng công thức y = kx để xác định quan hệ của hai đại lượng.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1:
Xác định hai đại lượng trong các trường hợp dưới đây có phải hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Nếu phải, viết công thức liên hệ và xác định hệ số tỉ lệ trong mỗi trường hợp:
a) Quãng đường ô tô đi được S (km) trong thời gian t (giờ), biết vận tốc của ô tô là 30km/h.
b) Diện tích S (m2) cánh đồng hình chữ nhật có hai kích thước là 3m và a (m).
c) Tổng số sản phẩm K (sản phẩm) đội công nhân làm được trong a ngày, biết mỗi ngày đội công nhân đó làm được 30 sản phẩm.
Hướng dẫn giải
a) Quãng đường đi được S (km) trong thời gian t (giờ) là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Công thức liên hệ: S = 30t (km). Hệ số tỉ lệ k = 30.
b) Diện tích S (m2) cánh đồng hình chữ nhật và độ dài một cạnh a(m) là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Công thức liên hệ: S = 3a (m2). Hệ số tỉ lệ k =3.
c) Tổng số sản phẩm K (sản phẩm) đội công nhân làm được trong a ngày là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Công thức liên hệ: K = 30a (sản phẩm). Hệ số tỉ lệ k = 30.
Ví dụ 2:
Cho hai đại lượng x, y tỉ lệ thuận với nhau. Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 5. Hỏi đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 5 nên y = 5x => x = (1/5)y
Suy ra đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 1/5.
Ghi nhớ: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k (k ≠ 0) thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 1/k.
Ví dụ 3:
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Biết khi x = 3 thì y = 6.
a) Xác định hệ số tỉ lệ k của đại lượng y đối với đại lượng x.
b) Biểu diễn y theo x.
c) Tính x khi y = −10.
Hướng dẫn giải
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = kx.
Thay x = 3 và y = 6 vào công thức, ta có: 6 = k.3 => k = 2.
Vậy hệ số tỉ lệ là k = 2.
b) Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k = 2 nên y = 2x.
c) Thay y = –10 vào công thức y = 2x, ta được −10 = 2x => x = -5.
Vậy khi y = –10 thì x = −5.
Ví dụ 4:
Các giá trị tương ứng của quãng đường S (km) và thời gian t (giờ) được cho trong bảng sau:
S 15 30 45 60 75 90 t 0,5 1 1,5 2 2,5 3 V = S/t a) Điền các số thích hợp vào ô trống trong bảng trên.
b) Hai đại lượng S và t có tỉ lệ thuận với nhau không? Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ?
Hướng dẫn giải
a)
| S | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
| t | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| V = S/t | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 | 30 |
b) Hai đại lượng S và t có tỉ lệ thuận với nhau vì S = 30t. Hệ số tỉ lệ là k = 30.
Ví dụ 5:
Cho biết đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ k1 = ½ và đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k2 = 4/3. Hỏi đại lượng z có tỉ lệ thuận với đại lượng x không? Nếu có, hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vì đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ k1 = ½ nên z = (1/2)y.
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k2 = 4/3 nên y = (4/3)x.
Suy ra z = ½.(4/3)x = (2/3)x. Do đó đại lượng z có tỉ lệ thuận với đại lượng x, hệ số tỉ lệ là k = 2/3.
Ghi nhớ: Nếu đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ k1, và đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k2, thì đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k = k1.k2.
Dạng 2: Tìm các đại lượng dựa vào tính chất tỉ lệ thuận
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận để xác định mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các đại lượng.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1:
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x2 là hai giá trị của x và y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng khi x1 = 2, x2 = 6 thì 2y1 – 3y2 = – 28.
a) Tính y1 và y2
b) Xác định công thức liên hệ của y và x.
Hướng dẫn giải
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có y1/x1 = y2/x2 = k.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
k = y1/x1 = y2/x2 => k = 2×1/2y1 = 3y2/3×2 = (2y1 – 3y2)/(2×1 – 3×2) = (-28)/(2.2 – 3.6) = 2
Suy ra y1 = 2×1 = 2.2 = 4, y2 = 2×2 = 2.6 =12.
Vậy y1 = 4, y2 =12.
b) Công thức liên hệ của y và x là y = 2x.
Ví dụ 2:
Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết rằng với hai giá trị x1, x2 của x thỏa mãn điều kiện 3×1 – 4×2 = 42,5 thì hai giá trị tương ứng y1, y2 của y thỏa mãn điều kiện 3y1 −4y2 = -8,5.
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x.
b) Biết x1, x2 tỉ lệ với 5 và 4. Tính x1, x2, y1, y2
Hướng dẫn giải
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:
y1/x1 = y2/x2 = k.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
k = y1/x1 = y2/x2; k = 3y1/3×1 = 4y2/4×2 = (3y1 – 4y2)/3×1 – 4×2) = (- 8,5)/42,5 = – 1/5.
Vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k = – 1/5
b) Vì x1, x2 tỉ lệ với 5 và 4 nên x1/5 = x2/4
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x1/5 = x2/4 = 3×1/15 = 4×2/16 = (3×1 – 4×2)/(15 – 16) = 42,5/ (- 1) = – 42,5
Suy ra x1 =5.(−42,5) = – 212,5; x2 = 4.(– 42,5)= -170.
Ta có y1 = (-1/5)x1 = – 1/5.(- 212,5) = 42,5 và y2 = (- 1/5)x2 = (-1 /5).(- 170) = 34.
Vậy x1 = −212,5; x2 = −170; y1 = 42,5; y2 = 34.
Dạng 3: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ k.
Bước 2: Sử dụng công thức y = k để tìm các giá trị tương ứng của x và y.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1:
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và bảng sau:
x -8 -6 -2 4 4 √2 16 y 1 8 a) Xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x.
b) Điền số thích hợp vào ô trống.
Hướng dẫn giải
a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = kx.
Thay x = 16 và y = 8, ta có: 8 = k.16 => k = 1/2
Vậy hệ số tỉ lệ của y đối với x là k = ½.
b) Kết quả điền vào ô trống như sau:
| x | -8 | -6 | -2 | 2 | 4 | 4 √2 | 16 |
| y | -4 | -3 | -1 | 1 | 2 | 2√2 | 8 |
Ví dụ 2:
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi hai giá trị x1, x2 của x có hiệu bằng –2 thì hai giá trị tương ứng y1, y2 của y có hiệu bằng 5.
a) Hãy biểu diễn đại lượng y theo đại lượng x. Viết công thức liên hệ giữa x và y.
b) Hoàn thành bảng sau:
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Hướng dẫn giải
a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = kx.
Áp dụng tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:
y1/x1 = y2/x2 = k.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
k = y1/x1 = y2/x2 = ((y1 – y2)/ (x1 – x2) = 5/(-2) = -5/2.
Vậy y = (-5/2)x.
b) Kết quả điền vào ô trống như sau:
| x | 8/5 | 2/3 | -3 | -1 | 1/2 | 2 | 4 | 5 | -18/5 |
| y | -4 | -5/3 | -15/2 | 5/2 | -5/4 | -5 | -10 | -25/2 | 9 |
Dạng 4: Một số bài toán có lời văn về đại lượng tỉ lệ thuận
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Bước 2: Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận để suy ra giá trị cần tìm.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1:
Cho biết 1 tấn nước biển chứa 24kg muối.
a) Giả sử x tấn nước biển chứa y(kg) muối. Hãy biểu diễn y theo x.
b) Hỏi trong 2,5 tấn nước biển chứa bao nhiêu gam muối?
Hướng dẫn giải
a) Vì khối lượng muối có trong nước biển và khối lượng nước biển là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y/(x.1000) = 24/1000 => y = 24x (kg).
b) Trong 2,5 tấn nước biển chứa số kg muối là 24.2,5 = 60 (kg).
Vậy trong 2,5 tấn nước biển chứa số gam muối là 60.1000 = 60000 (gam).
Ví dụ 2:
Biết 15 công nhân cùng làm trong một khoảng thời gian thì được 300 sản phẩm. Hỏi 20 công nhân làm trong cùng khoảng thời gian như vậy thì được bao nhiêu sản phẩm? (Năng suất của mỗi công nhận là giống nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi số sản phẩm 20 công nhân làm được trong thời gian đã cho là x (sản phẩm).
Vì số công nhân và số sản phẩm là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên 20/15 = x/300 => x = (20.300)/15 = 400 (sản phẩm).
Vậy 20 công nhân làm trong cùng khoảng thời gian như vậy thì được 400 sản phẩm.
Dạng 5: Chia một số thành nhiều phần tỉ lệ thuận với các số cho trước
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tương quan giữa các đại lượng tỉ lệ thuận.
Chia số S thành các phần nên ta có S = x + y + z + t + …
Các phần x, y, z, t … tỉ lệ thuận với a, b, c, d,… nên x/a = y/b = z/c = t/d = …
Bước 2: Áp dụng tính chất về dãy tỉ số bằng nhau, để tìm các giá trị x, y, z, t,…
+ Các ví dụ
Ví dụ 1:
Biết độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ thuận với các số 3, 4, 5 và chu vi của tam giác đó là 40,8cm. Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (cm) (0 < x, y, z < 40,8).
Vì chu vi của tam giác là 40,8cm nên x + y + z = 40,8.
Vì độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ thuận với các số 3; 4; 5; nên x/3 = y/4 = z/5.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/3 = y/4 = z/5 = (x + y + x)/(3 + 4 + 5) = 40,8/12 = 3,4.
Suy ra x = 3.3,4 = 10,2 (cm); y = 4.3,4 = 13,6 (cm); z = 5.3,4 = 17 (cm).
Vậy độ dài của ba cạnh tam giác đó là 10,2 cm; 13,6 cm; 17 cm.
Ví dụ 2:
Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 3:4:6 . Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi là 650 triệu đồng và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số tiền góp vốn.
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền mỗi đơn vị được chia lần lượt là x, y, z (triệu đồng)
(0 < x, y, z < 650).
Vì tổng số tiền lãi là 650 triệu đồng nên x + y + z = 650.
Vì số tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số tiền góp vốn, mà số tiền góp vốn theo tỉ lệ 3:4:6 nên
x/3 = y/4 = z/6.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/3 = y/4 = z/6 = (x + y + z)/(3 + 4 + 6) = 650/13 = 50.
Suy ra x = 3.50 = 150; y = 4.50 = 200; z = 6.50 = 300.
Vậy số tiền lãi chia cho mỗi đơn vị là 150 triệu đồng, 200 triệu đồng, 300 triệu đồng.
III. Bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7
Dưới đây là một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 để các em tham khảo:
Trên đây là lý thuyết và các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7 kèm lời giải chi tiết để các em tham khảo. Hi vọng chúng sẽ giúp các em đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và bài thi môn Toán.
Để ôn tập thêm kiến thức Toán lớp 7 tập 2, các em nên tham khảo thêm cuốn Làm chủ kiến thức Toán bằng sơ đồ tư duy lớp 7 Tập 2 của Tkbooks nhé!
Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1R-JkEKNI4j0d-bIDytNA-0KmRrQa5UZP/view
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh hàng đầu tại Việt Nam!