Đa thức một biến lớp 7 – Các dạng toán kèm lời giải chi tiết

Đa thức một biến lớp 7 là kiến thức, tiền đề quan trọng giúp các em giải các bài toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức một biến sau này.

Trong bài viết dưới đây, Tkbooks sẽ giới thiệu đến các em kiến thức về đa thức một biến, các dạng toán đa thức một biến lớp 7 kèm lời giải chi tiết.

Mời các em tham khảo!

I. Lý thuyết về đa thức một biến lớp 7

1. Đơn thức một biến là gì?

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.

Số 0 cũng được coi là một đơn thức, đơn thức này không có bậc.

2. Cộng, trừ, nhân đơn thức

Để cộng (hay trừ) hai đơn thức một biến cùng bậc với nhau, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Kết quả thu được là đơn thức một biển.

Để nhân hai đơn thức một biến với nhau, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Kết quả thu được là đơn thức một biến.

3. Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng các đơn thức của cùng một biến, mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hàng tử của đa thức đó.

Số 0 là một đa thức và được gọi là đa thức không.

Ta kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa, đôi khi kí hiệu thêm biến trong ngoặc đơn.

4. Thu gọn và sắp xếp đa thức một biến

Thu gọn đa thức một biến là thực hiện các phép toán cộng, trừ các đơn thức cùng bậc.

Để thuận tiện trong việc tính toán đa thức một biến, ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biển.

5. Bậc và các hệ số của đa thức một biến

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

6. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại x = a, đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0 thì ta gọi a (hay x = a ) là một nghiệm của đa thức F(x).

II. Các dạng toán đa thức một biến lớp 7

Dạng 1: Nhận biết đơn thức một biến, đa thức một biến

+ Phương pháp

Để nhận biết một biểu thức là đơn thức một biến, đa thức một biến ta căn cứ vào định nghĩa của đơn thức một biến, đa thức một biến.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức một biến?

a) 2x⁴.

b) 2 – (4/5)y².

c) 4x³y².

d) x + y + z.

e) (1/2)x

f) -5x².

g) 0.

h) 2.

Hướng dẫn giải

Các biểu thức là đơn thức một biến là:

a) 2x⁴.

e) (1/2)x

f) −5x².

g) 0.

h) 2.

Ví dụ 2

Trong các đa thức sau, đa thức nào là đa thức một biến?

a) 3x² + 4x + 1.

b) 1/x² + 2x – 3.

c) (x² – 4x)/2022²

d) xy + x + y – 1.

e) √(x² + 4x + 9).

f) 4x/(y – 2).

g) x²⁰²².

h) (3/2)x – xy².

Hướng dẫn giải

Các đa thức là đa thức một biến là:

a) 3x² + 4x + 1.

c) (x² – 4x)/2022²

g) x²⁰²².

Dạng 2: Thu gọn đơn thức một biến, đa thức một biến

+ Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân các đơn thức một biến.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1

Thu gọn các đơn thức sau:

a) 2x³ + 3x³ – (2/3)x³.

b) 2/3x² – (3/4)x² + (-1/2)x².

c) 2x² – (-2x)² + 4x.(-1/2)x.

Hướng dẫn giải

a) 2x³ + 3x³ – (2/3)x³ = (2 + 3 – 2/3)x³ = (13/3)x³

b) 2/3x² – (3/4)x² + (-1/2)x² = 2/3x² – (3/4)x² – (1/2)x² = (2/3 – 3/4 – 1/2)x² = (-7/12)x².

c) 2x² – (-2x)² + 4x.(-1/2)x = 2x² – (-2)²x² + (4.(-1/2))(x.x) = 2x² – 4x² + (-2)x² = [2 – 4 + (-2)]x² = -4x².

Ví dụ 2

Thu gọn các biểu thức sau (nếu được) rồi sắp xếp thành từng nhóm gồm các đơn thức đồng bậc:

5x²; 4x³; (-1/2)x²; √3.x⁴; ((1/2)x)²; (6x).(-9x³); x(-2x)²; 4x² + 2x².

Hướng dẫn giải

Ta có

((1/2)x)² = ¼.x²; (6x).(-9x³) = -54x⁴; x(-2x)² = 4x³; 4x² + 2x² = 6x².

Suy ra các nhóm đơn thức đồng bậc là:

– Các đơn thức bậc 2 gồm 5x²; ((1/2)x)²; 4x² + 2x².

– Các đơn thức bậc 3 gồm 4x³; x(−2x)².

– Các đơn thức bậc 4 gồm √3.x⁴; (6x).(-9x³).

Dạng 3: Xác định bậc, hệ số của đơn thức, đa thức

+ Phương pháp

Bước 1: Thu gọn đơn thức, đa thức. Đối với đa thức, ta cần sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

Bước 2: Xác định bậc, hệ số của đơn thức, đa thức.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1

Thu gọn rồi xác định bậc, hệ số của các đơn thức sau:

a) ((-2/3)x)³

b) ((3/2)x³).((-1/3)x)².

c) 3x².(-2x)³.((3/2)x⁴).

Hướng dẫn giải

a) ((-2/3)x)³ = (-2/3)³.x³ = (-8/27)x³.

Đơn thức (-8/27)x³ có hệ số bằng (-8/27) và bậc 3.

b) ((3/2)x³).((-1/3)x)² = ((3/2)x³).(-1/3)².x² = [3/2.(-1/3)²].(x³.x²) = (1/6)x⁶.

Đơn thức (1/6)x⁶ có hệ số bằng 1/6 và bậc 6.

c) 3x².(-2x)³.((3/2)x⁴) = [3.(-2)³.(3/2)].(x².x³.x⁴) = (-36).x⁹.

Đơn thức (-36).x⁹ có hệ số bằng (-36) và bậc 9.

Ví dụ 2

Viết đơn thức thỏa mãn điều kiện sau:

a) Có hệ số bằng (-2/3) và bậc bằng 4.

b) Có hệ số bằng hệ số đơn thức 2x³ và cùng bậc với đơn thức ((1/2).x²)⁴.

Hướng dẫn giải

a) Đơn thức cần tìm là (-2/3)x⁴.

b) Đơn thức ((1/2).x²)⁴ = (1/16).x⁸ nên có bậc là 8.

Đơn thức cần tìm là 2x⁸.

Ví dụ 3

Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) M(x) = x⁴ + 2x³ – 3x² + 6x – 1.

b) N(x) = 6x² – 3x³ + 9x⁴ – 3x + 2.

c) P(x) = 2x² + 3x⁴ – x + 4 – 3x³ + 2x² – 4x³ – 2x².

Hướng dẫn giải

a) Đa thức M(x) có bậc 4, hệ số cao nhất bằng 1, hệ số tự do bằng −1.

b) Ta có N(x) = 6x² – 3x³ + 9x⁴ – 3x + 2 = 9x⁴ – 3x³ + 6x² – 3x + 2.

Đa thức N(x) có bậc 4, hệ số cao nhất bằng 9, hệ số tự do bằng 2.

c) Ta có P(x) = 2x² + 3x⁴ – x + 4 – 3x³ + 2x² – 4x³ – 2x²

= 3x⁴ + (-3x³ – 4x³) + (2x² + 2x² – 2x²) – x + 4 = 3x⁴ – 7x³ + 2x² – x + 4.

Đa thức P(x) có bậc 4, hệ số cao nhất bằng 3, hệ số tự do bằng 4.

Dạng 4: Tính giá trị của đơn thức, đa thức

+ Phương pháp

Bước 1: Thu gọn đơn thức, đa thức.

Bước 2: Thay giá trị của biển vào đơn thức, đa thức và thực hiện các phép tính.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1

Tính giá trị của các đơn thức sau tại x = −2; x=1.

a) A = (1/4)x³.

b) B = ((1/4)x³).((-3/2)x²)².((1/2)x)⁴.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = −2 vào đơn thức A, ta có A = ¼.(-2)³ = ¼.(-8) = -2.

Thay x = 1 vào đơn thức A, ta có A = ¼.1³ = ¼.1 = ¼.

Vậy A = -2 khi x = −2 và A = 1/4 khi x = 1.

b) B = ((1/4)x³).((-3/2)x²)².((1/2)x)⁴ = [1/4.(-3/2)².(1/2)⁴].[x³.(x²)².x⁴] = (9/256)x¹¹.

Thay x = −2 vào đơn thức B, ta có B = 9/256.(-2)¹¹ = 9/256.(-2048) = -72.

Thay x = 1 vào đơn thức B, ta có B = 9/256.1¹¹ = 9/256.1 = 9/256.

Vậy B = –72 khi x = −2 và B = 9/256 khi x = 1.

Ví dụ 2

Cho đơn thức A = ½.a²x⁴ với a là hằng số. Tìm giá trị của a để đơn thức có giá trị bằng 2 khi x = 2.

Hướng dẫn giải

Vì đơn thức có giá trị bằng 2 khi x = 2 nên ½.a².2⁴ = 2 => ½.a².16 = 2 => a² = ¼ => a = -1/2 hoặc a = ½.

Vậy a = -1/2 hoặc a = ½ thì đơn thức có giá trị bằng 2 khi x = 2.

Ví dụ 3

Cho đa thức P(x) = x⁴ + x² + 1. Tính P(−2); P(0); P(1).

Hướng dẫn giải

P(-2)= (-2)⁴ + (-2)² + 1 = 16 + 4 + 1 = 21.

P(0) = 0⁴ + 0² + 1 = 0 + 0 + 1 = 1.

P(1) = 1⁴ + 1² + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.

Dạng 4:  Chứng minh giá trị của đa thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

+ Phương pháp

Để chứng minh giá trị của đa thức không phụ thuộc vào giá trị của biến, ta chứng minh đa thức là một số không đổi (hằng số).

+ Ví dụ

+ Ví dụ 1

Chứng minh rằng giá trị của đa thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.

a) A(x) = 4x³ + 3x² – 4x – 1 + 2x – x³ – 3x² – 3x³ + 2x + 4.

b) B(x) = 2x³ – x⁵ + 4x² – 3 + 2x – 2x³ + x⁵ + 3 – 2x – 4x².

c) C(x) = x²(x³ + 2x) – x(x⁴ + 1) – 2x³ + x – 2.

Hướng dẫn giải

a) A(x) = 4x³ + 3x² – 4x – 1 + 2x – x³ – 3x² – 3x³ + 2x + 4

=(4x³ – x³ – 3x³) + (3x² – 3x²) + (-4x + 2x + 2x) + (-1 + 4)

= 0.x³ + 0.x² + 0.x + 3 = 3.

3 là hằng số nên giá trị của đa thức A(x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) B(x) = 2x³ – x⁵ + 4x² – 3 + 2x – 2x³ + x⁵ + 3 – 2x – 4x²

= (-x⁵ + x⁵) + (2x³ −2x³) + (4x² – 4x²) + (2x – 2x) + (-3 + 3)

= 0.x⁵ + 0.x³ + 0.x² + 0.x + 0 = 0.

0 là hằng số nên giá trị của đa thức B(x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) C(x) = x²(x³ + 2x) – x(x⁴ + 1) – 2x³ + x – 2

= x⁵ + 2x³ – x⁵ – x – 2x³ + x – 2

=(x⁵ – x⁵) + (2x³ – 2x³) + (x – x) – 2

= 0.x⁵ + 0.x³ + 0.x – 2 = -2

-2 là hằng số nên giá trị của đa thức C(x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Ví dụ 2

Cho đa thức M(x)=4r’−3x+6mr-r-3-3r”. Tìm giá trị của m đề

giá trị của đa thức M(x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Dạng 5: Nghiệm của đa thức

+ Phương pháp

Sử dụng các kiến thức sau:

Nếu tại x = a, đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0 thì ta gọi a (hay x = a ) là một nghiệm của đa thức F(x).

Một đa thức khác đa thức không có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm (vô nghiệm).

Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá số bậc của đa thức đó.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1

Cho đa thức P(x) = x² + 4x +3 .

a) Trong các giá trị −1; 0; 1; 2, giá trị nào là nghiệm của đa thức P(x)?

b) Chứng minh x = −3 là nghiệm của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

a) Thay x = −1 vào đa thức P(x), ta có P(-1) = (-1)² + 4.(-1) + 3 = 0. Suy ra x = −1 là nghiệm của đa thức P(x).

Thay x = 0 vào đa thức P(x), ta có P(0)= 0² + 4.0 + 3 = 3≠0. Suy ra x = 0 không là nghiệm của đa thức P(x).

Thay x = 1 vào đa thức P(x), ta có P(1) = 1² + 4.1 + 3 = 8 ≠ 0. Suy ra x = 1 không là nghiệm của đa thức P(x).

Thay x = 2 vào đa thức P(x), ta có P(2) = 2² + 4.2 + 3 = 15 ≠ 0. Suy ra x=2 không là nghiệm của đa thức P(x).

b) Thay x = −3 vào đa thức P(x), ta có P(-3) = (-3)² + 4.(-3) + 3 = 0. Suy ra x = −3 là nghiệm của đa thức P(x) (đpcm).

Ví dụ 2

Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a) F(x) = 3x + 1.

b) H(x) = (4x + 5)(3 – 2x).

c) G(x) = x² – 16.

Hướng dẫn giải

a) Xét F(x) = 0 => 3x + 1 = 0 => 3x = -1 => x = -1/3.

Vậy đa thức F(x) có nghiệm là x = -1/3.

b) Xét H (x) = 0 ⇒ (4x + 5)(3 − 2x) = 0.

Trường hợp 1: 4x + 5 = 0 => 4x = -5 => x = -5/4.

Trường hợp 2: 3 – 2x = 0 => 3 = 2x => x = 3/2.

Vậy đa thức H(x) có nghiệm là x = -5/4 và x = 3/2.

c) Xét G(x) = 0 => x² – 16 = 0 => x² = 16 => x = 4.

Vậy đa thức G(x) có nghiệm là x = 4.

Thông qua bài viết “Đa thức một biến lớp 7 – Các dạng toán kèm lời giải chi tiết”, chúng ta đã cùng nhau đi qua các kiến thức cơ bản và một số dạng toán thường gặp về đa thức một biến. Học sinh lớp 7 có thể sử dụng bài viết này như một công cụ học tập hiệu quả, giúp các em củng cố và mở rộng kiến thức toán học, đặc biệt là trong phần đại số.

Hy vọng rằng, những kiến thức và phương pháp được trình bày trong bài viết sẽ hỗ trợ các em trong hành trình học tập và đạt được thành tích cao trong các bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em luôn học tập hiệu quả và tìm thấy niềm vui trong mỗi bài toán!

Lý thuyết và Đa thức một biến lớp 7 và các dạng toán kèm lời giải chi tiết được trình bày rất chi tiết trong cuốn Làm chủ kiến thức Toán bằng sơ đồ tư duy lớp 7 tập 2. Các em hãy nhanh tay sở hữu cuốn sách, ôn luyện để đạt điểm cao hơn trong kì thi quan trọng sắp tới nhé!

Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1R-JkEKNI4j0d-bIDytNA-0KmRrQa5UZP/view

TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo lớp 7 hàng đầu tại Việt Nam.

TKbooks.vn