Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Hà Tĩnh kèm đáp án chi tiết

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Hà Tĩnh kèm đáp án chi tiết dưới đây sẽ giúp các bạn học sinh Hà Tĩnh ôn luyện và chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi vào lớp 10 năm 2024 quan trọng sắp tới.

Mời các em tham khảo!

Xem thêm: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Thái Bình

I. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Hà Tĩnh

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A= √48 – 3√3

b) B = [1/(√x + 2) + 1/(√x – 2)] : [√x /(x – 4)] (với x > 0; x ≠ 4 ).

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Cho hai đường thẳng (d1): y = (m − 3)x + 4 (m là tham số) và (d2): y = 2x − 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình x² – 2mx + m² – m – 2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

(x1x2 + 1)/[x1² + x2² + 2(1 + x1x2)] = 1/6.

Câu 4. (1,0 điểm)

Một phòng họp ban đầu có 96 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phỏng họp phải cắt bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 110 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈ BC). Biết độ dài đoạn AB = 5cm và AH = 4cm . Tính độ dài đoạn BH và diện tích tam giác ABC.

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E (D khác B và E khác C). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD.

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H ). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D ). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE² = BC.MC và ba điểm B, I, P thẳng hàng.

Câu 7. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a²/[a² + 2(b + c)²] + b²/[b² + 2(c + a)² + c²/[c² + 2(a + b)²

II. Đáp án chi tiết của đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Hà Tĩnh

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

Cách giải:

a) A = √48 – 3√3

Ta có: A = √48 – 3√3 = √(3.4²) – 3√3 = 4√3 – 3√3 = √3

Vậy A = √3.

b) B = [1/(√x + 2) + 1/(√x – 2)] : [√x /(x – 4)] (với x > 0; x ≠ 4).

Với x > 0; x ≠ 4 ta có:

B = [1/(√x + 2) + 1/(√x – 2)] : [√x /(x – 4)]

= [(√x – 2)/[(√x + 2).(√x – 2)] + (√x + 2)/[(√x + 2).(√x – 2)]].(x – 4)/√x

= [(2√x)/[(√x + 2).(√x – 2)]].(x – 4)/√x

= [(2√x)/(x – 4)].(x – 4)/√x

= 2

Vậy B = 2.

Câu 2. (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Cho hai dường thẳng (d1): y = (m − 3)x + 4 (m là tham số) và (d2): y = 2x − 1. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

Để (d1) và (d2) song song với nhau thì m – 3 = 2 và 4 ≠ – 1 ó m = 5.

Vậy với m = 5 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

b) Giải hệ phương trình

Thay (1) vào (2) ta có:

(2) ⇔ 3x + 2(2x – 3) = 8 ⇔ 3x + 4x – 6 = 8 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2.

Thay x = 2 vào (1) ta được y = 2.2 – 3 = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;1).

Câu 3: (1,0 điểm)

Cho phương trình x² – 2mx + m² – m – 2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

(x1x2 + 1)/[x1² + x2² + 2(1 + x1x2)] = 1/6.

Cách giải:

Ta có Δ’ = m² – (m² – m – 2) = m² – m² + m + 2 = m + 2

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > – 2.

Vậy với m > −2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2.

Áp dụng hệ thức Viet có:

Để (x1x2 + 1)/[x1² + x2² + 2(1 + x1x2)] = 1/6

⇔ (x1x2 + 1)/[x1² + x2² + 2(1 + x1x2)] = 1/6

⇔ (x1x2 + 1)/[(x1 + x2)² + 2] = 1/6

⇔ (m² – m – 2 + 1)/[(2m)² + 2] = 1/6

⇔ (m² – m – 1)/(4m² + 2) = 1/6

⇔ 6m² – 6m – 6 = 4m² + 2

⇔ 2m² – 6m – 8 = 0

⇔ 2(m + 1)(m – 4) = 0

⇔ m = – 1 hoặc m = 4.

Vậy m = – 1 hoặc m = 4 thỏa mãn bài toán.

Câu 4. (1,0 điểm)

Một phòng họp ban đầu có 96 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để vừa đủ chỗ ngồi cho 110 đại biểu. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Cách giải:

Gọi x là số dãy ghế ban đầu. (x > 2, x ∈ N*).

Sau khi cất đi 2 dãy ghế, số dãy ghế còn lại là: x − 2 (dãy).

Số ghế ở mỗi hàng lúc ban đầu là 96/x (ghế).

Số ghế ở mỗi hàng sau khi bỏ bớt hai hàng là 110/(x – 2) (ghế).

Vì khi cất bớt 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại xếp thêm 1 ghế nên ta có phương trình:

110/(x – 2) – 96/x = 1

⇔ 110x/[(x – 2)x] – [96(x – 2)/[(x – 2)x]] = 1

⇔ [110x – (96(x – 2)]/[(x – 2)x] = 1

⇔ (110x – 96x + 192)/[(x – 2)x] = 1

⇔ (14x + 192)/[(x – 2)x] = 1

⇔ 14x + 192 = x² – 2x

⇔ x² – 16x – 192 = 0

⇔ (x – 24)(x + 8) = 0

⇔ x = 24 ™ hoặc x = – 8 (ktm)

Vậy số dãy ghế lúc đầu là 24 dãy ghế.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H∈BC). Biết độ dài đoạn AB = 5cm và AH = 4cm. Tính độ dài đoạn BH và diện tích tam giác ABC.

Cách giải:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta được: AH² + BH² = AB²

⇒ 4² + BH² = 5²

⇔ 16 + BH² = 25

⇔ BH² = 9

⇔ BH = 3

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta được: AB² = BH.BC

⇒ BC = AB²/BH = 5²/3 = 25/3

Diện tích tam giác ABC là: S.ABC = 1/2.4.25/3 = 50/3 (cm²)

Câu 6. (2,0 diểm)

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E (D khác B và E khác C). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD.

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.

b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H ). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D ). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE² = BC.MC và ba điểm B, I, P thẳng hàng.

Cách giải:

a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

Ta có góc BEC = góc BDC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ Góc ADH = góc AEH = 90°

⇒ Góc ADH + góc AEH = 90° + 90° = 180°

 ADHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).

b) Đường thẳng AH cắt BC tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm P (P nằm giữa A và H). Đường thẳng DF cắt đường tròn (O) tại điểm K (K khác D). Gọi M là giao điểm của EK và BC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HDP. Chứng minh CE² = BC.MC và ba điểm B, I, P thẳng hàng.

+) Chứng minh CE² = BC.MC.

Xét tam giác ABC có: Góc BEC = góc BDC = 90° (cmt) => BE⊥AC, CD⊥AB.

Mà BE∩CD ={H}=> H là trực tâm của tam giác ABC.

• AH⊥BC tại F => AF⊥BC => góc BFH = 90°.

Xét tứ giác BFHD có: Góc BFH + góc BDH = 90° + 90° = 180°

• BFHD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).
• Góc DFH = góc DBH = góc DBE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)

Mà góc DBE = góc DKE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

• Góc DFH = góc DKE . Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
• FP//KE ⇒ AF//KE (dhnb).

Mà AF⊥BC (cmt) => KE⊥BC tại M => EM⊥BC.

Xét tam giác BCE vuông tại E, đường cao EM có: CE² = BC.MC (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (dpcm).

+) Chứng minh ba điểm B, I, P thẳng hàng.

Xét △CHF và △CBD có:

• Góc CFH = góc CDB = 90°
• Góc BCD chung

⇒△CHF ∼ △CBD (g.g)

CH/CB = CF/CD (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ CD = CB.CF (1)

Ta có: Góc CPB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => △CBP vuông tại P.

Xét tam giác CBP vuông tại P, đường cao PF có:

CP² = CB.CF (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CH.CD = CP² => CH/CP = CP/CD.

Xét △CHP và △CPD có:

• Góc PCD chung
• CH/CP = CP/CD (cmt)
• △CHP ∼ △CPD (c.g.c)
• Góc HPC = góc PDC = góc PDH (2 góc tương ứng).

Ta có góc HPI = (180° – góc HIP)/2 = 90° – góc HIP/2 = 90° – góc PDH (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung HP)

• Góc HIP = 90° – góc HPC ⇔ góc HIP + góc HPC = 90° ⇔ góc CPI = 90°
• IP ⊥ PC (3)

Mà góc CPB = 90° (cmt) ⇒ BP ⊥ PC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ B, I, P thẳng hàng (đpcm).

Câu 7. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực khác không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a²/[a² + 2(b + c)²] + b²/[b² + 2(c + a)² + c²/[c² + 2(a + b)²

Cách giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

(a + b)² ≤ (1+1)(a² + b²) = 2(a² + b²)

(b + c)² ≤ 2(b² + c²)

(c + a)² ≤ 2(c² + a²

Suy ra P ≥ a²/[a² + 4(b² + c²)] + b²/[b² + 4(c² + a²)] + c²/[c² + 4(a² + b²)]

= a²/[a² + 4(b² + c²)] + 1/3 + b²/[b² + 4(c² + a²)] + 1/3 + c²/[c² + 4(a² + b²)] + 1/3 – 1

= 4(a² + b² + c²)/[3.(a² + 4(b² + c²))] + 4(a² + b² + c²)/[3.(b² + 4(c² + a²))] + 4(a² + b² + c²)/[3.(c² + 4(a² + b²))] – 1

= 4/3(a² + b² + c²).[1/[a² + 4(b² + c²)] + 1/[b² + 4(c² + a²)] + 1/[c² + 4(a² + b²⁾] – 1

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

[1/[a² + 4(b² + c²)] + 1/[b² + 4(c² + a²)] + 1/[c² + 4(a² + b²⁾] ≥ (1 + 1 + 1)²/[9.(a² + b² + c²)]

Do đó: P ≥ 4/3.(a² + b² + c²).[1/(a² + b² + c²)] – 1 = 4/3 – 1 = 1/3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1/3 khi a = b = c.

Hi vọng đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 môn Toán Hà Tĩnh kèm đáp án chi tiết ở trên sẽ giúp các em học sinh lớp 9 tại Hà Tĩnh đã nắm bắt được những điểm quan trọng và những kỹ thuật giải toán cần thiết từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023.

Hãy dành thời gian để luyện tập thật kỹ lưỡng, đặc biệt là những dạng bài đã xuất hiện trong đề thi, để từ đó có thể tự tin giải quyết mọi thử thách trong kỳ thi sắp tới.

Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt được kết quả xuất sắc, mở ra cánh cửa vào những ngôi trường THPT mong muốn.

Tải đề thi dạng PDF tại đây để in và ôn luyện tại nhà các em nhé!

Tkbooks.vn