Hàm số bậc 2 lớp 9 y = ax2 – Bài tập và đồ thị của nó

Trong chương trình toán lớp 9, hàm số bậc 2 đóng vai trò quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa biến số và cách chúng tạo nên các hình dạng đồ thị độc đáo. Đây cũng là phần kiến thức trọng tâm trong học kỳ 2 lớp 9 mà chắc chắn các em sẽ gặp trong các bài thi và bài kiểm tra.

Hãy cùng Tkbooks tìm hiểu về hàm số bậc 2 lớp 9 y = ax² (a ≠ 0) và đồ thị của nó qua bài viết dưới đây cũng như tham khảo các dạng bài tập cơ bản về hàm số bậc 2 lớp 9 nhé!

I. Lý thuyết hàm số bậc 2 lớp 9

• Hàm số bậc 2 có dạng y = ax² (a ≠ 0) có tính chất:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x <0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a <0 thì hàm số đồng biến khi x <0 và nghịch biến khi x > 0.

• Đồ thị hàm số bậc 2 y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Nếu a > 0 thì bề lõm quay lên trên, và đồ thị ở phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì bề lõm quay xuống dưới, và đồ thị ở phía dưới trục hoành.

II. Bài tập về hàm số bậc 2 lớp 9 y = ax²

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số y = f(x) = ax² (a≠0) tại x = x0 và ngược lại

+ Phương pháp

Thay x = x0 vào y = f(x0) hoặc ngược lại thay giá trị của hàm số vào để tìm x.

+ Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = (-1/2)x². Hãy tính các giá trị f(-4); f(-1); f(0); f(1); f(4).

Lời giải:

Ta có: f(-4) = (-1/2).(-4)² = -8;

ƒ(-1) = -1/2; ƒ(0) = 0; f(1) = (-1/2); f(4) = -8.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (1/3)x². Tìm các giá trị của x biết rằng:

a) y = 1/27;

b) y = 12.

Lời giải:

a) y = 1/27 => (1/3)x² = 1/27 ⟺ x = ± 1/3.

b) y = 12 => (1/3)x² = 12 x = ± 6

Dạng 2: Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Phương pháp

Dựa vào tính chất của hàm số y = ax² (a ≠ 0):

• a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
• a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.

+ Các ví dụ

Ví dụ 3: Cho hàm số y = (2m − 1)x² với m≠1/2.

a) Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến với x > 0.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến với x > 0.

Lời giải:

a) Để hàm số nghịch biến x > 0 thì 2m – 1< 0 ⟺ m < ½.

b) Để hàm số đồng biến x > 0 thì 2m – 1 > 0 ⟺ m > ½.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = (m² + m + 1)x². Chứng minh rằng với mọi x1, x2 thỏa mãn 0 < x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Lời giải:

Ta có: m² + m + 1 = (m + 1/2)² + ¾ > 0 với mọi m.

Suy ra hàm số đồng biến với x > 0.

Vậy với mọi x1, x2 thỏa mãn 0 < x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ax² (a ≠ 0).

+ Phương pháp

Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0):

Nếu a > 0 thì y ≥ 0 với mọi x. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0.

Nếu a < 0 thì y ≤ 0 với mọi x. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 khi x = 0.

+ Các ví dụ

Ví dụ 5: Cho hàm số y = (m² − 4)x². Tìm giá trị của m để:

a) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0;

b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.

Lời giải:

a) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0 khi m² – 4 < 0 ⟺ -2< m < 2

b) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0 khi m² – 4 > 0 ⟺ m < -2 hoặc m >2.

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) = 2x². Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi:

a) 0 ≤ x ≤ 4

b) -3 ≤ x ≤ 0.

Lời giải:

Ta có a = 2 > 0 => hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.

a) 0 ≤ x ≤ 4 => ƒ(0) ≤ f(x) ≤ ƒ(4) ⇒ 0≤ x ≤ 32.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 32 khi x = 4, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0.

b) -3 ≤ x ≤ 0⇒ƒ(0) ≤ f(x) ≤ ƒ(-3) => 0 ≤ f(x) ≤ 18.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 18 khi x = −3, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0.

Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị. Vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠0)

+ Phương pháp

Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị là Parabol (P):

+ Điểm M có toạ độ (x0;y0) thuộc đồ thị parabol (P) khi và chỉ khi y0 = ax0²

+ Điểm M có toạ độ (x0;y0) không thuộc đồ thị parabol (P) ⟺ y0 = ax0²

* Vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

+ Xác định đỉnh của Parabol là gốc toạ độ O (0;0).

+ Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số:

x	-2	-1	0	1	2
y = ax2	4a	a	0	a	4a

+ Hình dạng Parabol

+ Các ví dụ

Ví dụ 7: Cho hàm số y = (1/2)x².

a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Các điểm M(2;2), N(-1;4); P(1;½) có thuộc đồ thị hàm số trên không?

c) Tìm các giá trị m và n để các điểm M(4;m) và N(n;1) thuộc đồ thị hàm số trên.

Lời giải:

a) Học sinh tự vẽ đồ thị.

b) Vì ½.2² = 2 nên điểm M(2;2) thuộc đồ thị hàm số.

Tương tự, điểm N(−1;4) không thuộc và điểm P (1;1/2) thuộc đồ thị hàm số.

c) Điểm M(4;m) thuộc đồ thị hàm số =>1/2.4² = m ⟺ m = 8.

Điểm N(n;1) thuộc đồ thị hàm số => ½.n² = 1 ⟺ n = ±√2.

Ví dụ 8: Tìm giá trị của m để hàm số y = (m−1)x² đi qua điểm A(2;12).

Lời giải:

Để hàm số đi qua điểm A(2;12) thì (m − 1).2² =12 ⟺ m=4.

Ví dụ 9: Tìm hệ số a biết rằng đồ thị hàm số (P): y = ax² và đường thẳng (d): y = 2x − 3 cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng −1.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có: ax² = 2x − 3.

Vì đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng −1 nên a.(−1)² = 2.(-1) – 3 ⟺ a = -5.

Ví dụ 10: Tìm a biết rằng hàm số (P): y = (2a + 5)x² và đường thẳng (d): y = 3x + 1 cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Gọi A (xA, yA) là giao điểm của hàm số y = (2a + 5)x² và (d).

Vì đồ thị hàm số (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 4 nên yA = 4 => 4 = 3xA + 1 => xA = 1.

Thay xA = 1 vào y = (2a + 5)x² ta được 4 = (2a + 5).1² => a = (-1/2).

III. Bài tập thực hành thêm:

Dưới đây là một số bài tập thực hành thêm về hàm số bậc 2 lớp 9 để các em làm ở nhà:

Hy vọng những kiến thức về hàm số bậc 2 lớp 9 ở trên sẽ giúp các em đạt được điểm số cao hơn trong các bài thi và bài kiểm tra Toán trên lớp.

Để tìm hiểu thêm về kiến thức Toán lớp 9 trong học kỳ 2, các em nên mua cuốn sách Làm chủ kiến thức Toán 9 ôn thi vào 10 phần Đại số của Tkbooks nhé!

Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1uaOJCek1Mpmm-UbFU3hEIVzQ0P6PPaoC/view

TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh THCS hàng đầu tại Việt Nam.

TKbooks.vn