Đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 – Lý thuyết, các dạng bài tập kèm lời giải cực chi tiết
Đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 là phần kiến thức quan trọng trong môn Toán lớp 7 ở học kỳ 2. Phần kiến thức này chắc chắn sẽ xuất hiện trong bài thi học kỳ nên các em cần ôn tập kỹ để đạt điểm cao nhé!
Dưới đây là lý thuyết, các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 kèm lời giải chi tiết. Mời các em tham khảo!
>>> Xem thêm: Đại lượng tỉ lệ thuận lớp 7
I. Lý thuyết về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7
1. Định nghĩa
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a/x (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a (a ≠0) thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Khi đó ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
2. Tính chất
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:
- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
| x1y1 = x2y2 = x3y3 = … = a hay y1/(1/x1) = y2/(1/x2) = y3/(1/x3) = … = a. |
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
| y1/y2 = x2/x1, y1/y3 = x3/x1, y2/y3 = x3/x2, … |
II. Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Xác định hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn đại lượng tỉ lệ nghịch
+ Phương pháp
Bước 1: Xác định hai đại lượng x, y và hệ số tỉ lệ a.
Bước 2: Sử dụng công thức y = a/x để xác định mối tương quan của hai đại lượng.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1
Xác định hai đại lượng trong các trường hợp dưới đây có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu phải, viết công thức liên hệ và xác định hệ số tỉ lệ trong mỗi trường hợp:
a) Chiều dài x (m) và chiều rộng y (m) của thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích bằng 500m2.
b) Vận tốc v (km/h) của ô tô và thời gian t (giờ) để ô tô đi hết quãng đường 120 km.
c) Năng suất lao động N và thời gian thực hiện t để làm xong một khối lượng công việc không đổi A.
Hướng dẫn giải
a) Chiều dài x (m) và chiều rộng y (m) của thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích bằng 500m2 là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì xy =500.
Công thức liên hệ: x = 500/y hay y = 500/x
Hệ số tỉ lệ a =500.
b) Vận tốc v (km/h) của ô tô và thời gian t (giờ) để ô tô đi hết quãng đường 120km là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì vt = 120.
Công thức liên hệ: v = 120/t hay t = 120/v.
Hệ số tỉ lệ a =120.
c) Năng suất lao động N và thời gian thực hiện t để làm xong một khối lượng công việc không đổi A là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì Nt = A.
Công thức liên hệ: N = A/t hay t = A/N.
Hệ số tỉ lệ a = A.
Ví dụ 2
Cho hai đại lượng x, y tỉ lệ nghịch với nhau. Biết đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ −10. Hỏi đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vì đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ –10 nên:
Y = -10/x => x = -10/y.
Suy ra đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ −10.
- Ghi nhớ: Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a thì đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ a.
Ví dụ 3
Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
x -8 -6 -4 4 6 12 y -6 -8 -12 12 8 4 a) Tính các giá trị xy tương ứng trong bảng trên.
b) Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
a)
| x | -8 | -6 | -4 | 4 | 6 | 12 |
| y | -6 | -8 | -12 | 12 | 8 | 4 |
| xy | 48 | 48 | 48 | 48 | 48 | 48 |
b) Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau vì xy =48 không đổi.
Dạng 2: Tìm các đại lượng dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch xác định mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các đại lượng.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x, x, là hai giá trị của x và y, y, là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng khi x1 = −2, x2 = 3 thì 2y1 – 3y2 = 24.
a) Tính y1 và y2.s
b) Biểu diễn y theo x.
Hướng dẫn giải
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
x1/x2 = y2/y1 => y1/x2 = y2/x1.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
y1/x2 = y2/x1 = 2y1/2×2 = 3y2/3×1 = (2y1 – 3y2)/(2×2 – 3×1) = 24/(2.3 – 3.(-2)) = 2.
Suy ra y1 = 2×2 = 2.3 = 6, y2 = 2×1 = 2.(−2) = −4. Vậy y1 = 6, y2 = -4.
b) Ta có a = x1y1 = x2y2 = −12 nên y = -12/x.
Ví dụ 2
Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1, x2 là hai giá trị của x, gọi y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y . Biết khi x1 = −3 và y2 =3 thì y1 – 2×2 = 18.
a) Tính y1, x2
b) Biểu diễn y theo x. Tính giá trị của x khi y = 10, y = -12.
Hướng dẫn giải
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
x1/x2 = y2/y1.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x1/x2 = y2/y1⇒ y2/y1 = 2×1/2×2 = (y2 – 2×1)/(y1 – 2×2) = (3 – 2.(-3))/18 = ½.
Suy ra y1 = 2y2 = 2.3 =6, x2 = 2×1 = 2.(-3) = -6.
Vậy y1 =6, x2 = -6.
b) Ta có a = x1y1 = x2y2 = −18 nên y = -18/x.
Với y = 10 thì 10 = -18/x => x = -9/5.
Với y = -12 thì −12 = -18/x => x = 3/2.
Vậy y = -18/x và khi y = 10 thì x = -9/5; y = -12 thì x = 3/2.
Dạng 3: Lập bảng giá trị trong úng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch
+ Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định hệ số tỉ lệ a.
Bước 2: Sử dụng công thức y = a/x hoặc x = a/y để tìm các giá trị tương ứng của x và y.
+ Các ví dụ:
Ví dụ 1
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ a = −2.
a) Biểu diễn y theo x.
b) Hoàn thành bảng sau:
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Hướng dẫn giải
a) Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a = -2 nên y = -2/x.
b) Kết quả điền vào ô trống như sau:
| x | -1/6 | -4 | 1 | 0,75 | 1 | 4 | 6 |
| y | 12 | 1/2 | -2 | -8/3 | -2 | -0,5 | -1/3 |
Ví dụ 2
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bảng sau:
x -72 -36 8 12 16 y 18 36 9 a) Xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x.
b) Điền số thích hợp vào ô trống.
Hướng dẫn giải
a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên y = a/x.
Thay x = 16 và y = 9, ta có: 9 = a/16 => a = 144.
Vậy hệ số tỉ lệ của y đối với x là a =144.
b) Kết quả điền vào ô trống như sau:
| x | -72 | -36 | 8 | 4 | 8 | 12 | 16 |
| y | -2 | -4 | 18 | 36 | 18 | 12 | 9 |
Dạng 4: Một số bài toán có lời văn về đại lượng tỉ lệ nghịch
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Bước 2: Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch để suy ra giá trị cần tìm.
+ Các ví dụ
Ví dụ 1
Cho biết 3 máy cày cày xong một cánh đồng hết 60 giờ. Hỏi 10 máy cày như thế cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian? (Biết rằng các máy cày có cùng công suất).
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian để 10 máy cày cày xong cánh đồng là x (giờ) (x>0).
Vì năng suất của mỗi máy cày là như nhau nên trên cùng cánh đồng thì số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian cày xong cánh đồng.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
60/x = 10/3 => x = (60.3)/10 = 18 (giờ).
Vậy 10 máy cày cày xong cánh đồng trong 18 giờ.
Ví dụ 2
Hai bánh xe răng cưa khớp với nhau. Bánh lớn có 81 răng cưa và quay 60 vòng trong 1 phút. Tính số răng cưa của bánh nhỏ biết nó quay 90 vòng trong 1 phút.
Hướng dẫn giải
Gọi số răng cưa của bánh nhỏ là x (răng cưa) (x ∈ N).
Vì hai răng cưa khớp với nhau nên số răng cưa và tốc độ quay của bánh xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
81/x = 90/60 => x = (81.60)/90 = 54 (răng cưa).
Vậy bánh nhỏ có 54 răng cưa.
Dạng 5: Chia một số thành nhiều phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước
+ Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Xác định tương quan giữa các đại lượng tỉ lệ nghịch.
Chia số S thành các phần nên ta có S = x + y + z + t + …
Các phần x, y, z, t,… tỉ lệ nghịch với a, b, c, d,… nên ax = by = cz = dt = … hay:
x/(1/a) = y/(1/b) = z/(1/c) = t/(1/d) = …
Bước 2: Áp dụng tính chất về dãy tỉ số bằng nhau, ta tiến hành tìm các giá trị x, y, z, t,…
Chú ý: Để chia số M thành các phần x, y, z, t,… tỉ lệ nghịch với a, b, c, d,… khác 0, ta chia số M thành các phần tỉ lệ thuận với 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, …
+ Các ví dụ
Ví dụ 1
Hai ô tô cùng xuất phát đi từ A đến B. Vận tốc của xe thứ nhất là 60km/h, vận tốc của xe thứ hai là 40km/h. Biết xe thứ hai đến B chậm hơn xe thứ nhất 45 phút. Tính quãng đường AB.
Hướng dẫn giải
Đổi 45 phút = ¾ giờ.
Gọi t1, t2 (giờ) lần lượt là thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi từ A đến B (t2 > t1 > 0).
Vì xe thứ hai đến B chậm hơn xe thứ nhất 45 phút nên t2 – t1 = ¾.
Trên cùng quãng đường AB, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 60t1 = 40t2
- t1/(1/60) = t2/(1/40)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
t1/(1/60) = t2/(1/40) = (t2 – t1)/(1/40 – 1/60) = (3/4)/(1/120) = 90.
Suy ra t1 = 90.(1/60) = 3/2 (giờ), t2 = 90.(1/40) = 9/4 (giờ).
Vậy độ dài quãng đường AB là 3/2.60 = 90 (km).
Ví dụ 2
Chia số 740 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 4; 5; 6. Tìm ba số đó.
Hướng dẫn giải
Gọi ba số cần tìm là x, y, z (0 < x, y, z < 640).
Vì chia số 740 thành ba phần x, y, z nên x + y + z = 740. Vì x, y, z tỉ lệ nghịch với 4; 5; 6 nên 4x = 5y = 6z = x/(1/4) = y/(1/5) = z/(1/6).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x/(1/4) = y/(1/5) = z/(1/6) = (x + y + z)/(1/4 + 1/5 + 1/6) = 740/(37/60) = 1200.
Suy ra x = 1/4.1200 = 300, y = 1/5.1200 = 240, z = 1/6.1200 = 200.
Vậy ba số cần tìm là 300, 240, 200.
III. Bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7
Dưới đây là một số bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch để các em luyện tập:
Trên đây là lý thuyết và các dạng bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 kèm lời giải chi tiết để các em tham khảo. Hi vọng chúng sẽ giúp các em đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và bài thi môn Toán.
Để ôn tập thêm kiến thức Toán lớp 7 tập 2, các em nên tham khảo thêm cuốn Làm chủ kiến thức Toán bằng sơ đồ tư duy lớp 7 Tập 2 của Tkbooks nhé!
Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1R-JkEKNI4j0d-bIDytNA-0KmRrQa5UZP/view
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh hàng đầu tại Việt Nam!