Phương trình mặt phẳng – Lý thuyết, bài tập và cách giải

Phương trình mặt phẳng là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Phương trình mặt phẳng. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Vectơ →n ≠ 0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (α) nếu giá của →n vuông góc với (α).
Hai vectơ →a, →b không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (α) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (α).

Chú ý:

Nếu →n là một VTPT của (α) thì k.→n (k≠0) cũng là VTPT của (α).
Nếu →a, →b là một cặp VTCP của (α) thì →n = [a,b] là một VTPT của (α).

Các trường hợp đặc biệt:

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0.

Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì →n = (A;B;C) là một VTPT của (α).

Phương trình mặt phẳng đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có một VTPT →n = (A;B;C) là:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

3. Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số	Phương trình mặt phẳng (α)	Tính chất mặt phẳng (α)
D = 0	Ax + By + Cz = 0	(α) đi qua gốc tọa độ O.
A = 0	By + Cz + D = 0	(α)//Ox hoặc (α)⊃Or
B = 0	Ax + Cz + D = 0	(α)//Oy hoặc (α) ⊃Oy
C = 0	Ax + By + D = 0	(α)//Oz hoặc (α) ⊃Oz
A = B = 0	Cz + D = 0	(α)//(Oxy) hoặc (α)≡(Oxy)
A = C = 0	By + D=0	(α)//(Oxy) hoặc (α)≡(Oxy)
B = C = 0	Ax + D =0	(α)//(Oyz) hoặc (α)≡(Oyz)

Chú ý:

Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α):

x/a + y/b + z/c = 1

Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm A(a;0;0), B(b;0;0), C(c;0;0) với abc ≠ 0.

*Bài toán ví dụ về viết phương trình mặt phẳng*

II. KHOẢNG CÁCH

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(x_A;y_A;z_A ) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:

D(A,(α)) = [(Ax_A + By_A + Cz_A + D)/ √(A² + B² + C²)]

*Bài toán ví dụ về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng*

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(α): Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0.

(β): Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0.

Mối quan hệ:

*Bài toán ví dụ về vị trí tương đối của mặt phẳng*

2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x – a)² + (y – b)² + (z − c)² = R².

Để xét vị trí của (α) và (S) ta làm như sau:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến (α).
Bước 2:

Mối quan hệ	Điều kiện
(α) không cắt (S)	d(I,(α)) > R
(α) tiếp xúc (S) tại H . Khi đó H được gọi là tiếp điểm, là hình chiêu vuông góc d(I,(α)) = R của I lên (α) và (α) được gọi là tiếp diện.	d(I,(α)) = R
(α) cắt (S) theo đường tròn có phương trình (C): [(x – a)² + (y − b)² + (z −c)²] = R² Ax + By + Cz + D = 0 Bán kính của (C) là r = √(R² – d² (I,(α)) Tâm H của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên (α).	d(I,(α)) < R

IV. GÓC

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT →n₍_α), →n_(β).

Tức là:

V. CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

*Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (1)*

*Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (2)*

*Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (3)*

VI. BÀI TẬP

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Phương trình mặt phẳng để các em luyện tập:

Các dạng toán khác về Thể tích khối đa diện được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn

Phương trình mặt phẳng – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực chi tiết

I. Phương trình mặt phẳng