Phương trình và hệ phương trình – Lý thuyết, bài tập và cách giải cực chi tiết
Phương trình và hệ phương trình là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong 40% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.
Dưới đây là toàn bộ kiến thức về phương trình và hệ phương trình. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm phương trình
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) (1).
trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x . Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là về phải của phương trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì xạ được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn:
3x + 2y = x² – 2xy + 8 (2)
4x² – xy + 2z = 3z² + 2xz + y² (3)
Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x;y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x; y; x).
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x;y) = (2;1) là một nghiệm của phương trình (2).
Tương tự, bộ ba số (x;y;z) = (-1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3).
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiêu ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí:
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:
- Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
- Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) =g(x).
Ta viết f (x) = g(x)= f (x)=g(x).
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
I. Ôn tập về phương trình bậc nhất, bậc hai
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau:
| Hệ số | Kết luận | |
| a # 0 | PT có nghiệm duy nhất x = -b/a | |
| a = 0 | b = 0 | PT vô nghiệm |
| b # 0 | PT vô số nghiệm | |
Khi a # 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai
ax² + bx + c = 0 (với a # 0).
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:
| Δ = b² – 4ac | Kết luận |
| Δ > 0 | PT có hai nghiệm phân biệt x1,2 = (-b ± √Δ)/2a |
| Δ = 0 | PT có nghiệm kép x = -b/2a |
| Δ < 0 | PT vô nghiệm |
3. Định lí Vi – ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì:
x₁ + x₂ = -b/a = S
x₁.x₂ = c/a = P
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v=S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.
4. Tính chất nghiệm – điều kiện tương đương
| Tính chất nghiệm | Điều kiện |
| có nghiệm | Δ = b² – 4ac ≥ 0 |
| 2 nghiệm trái dấu | ac < 0 |
| 2 nghiệm dương phân biệt |  |
| 2 nghiệm âm phân biệt |  |
| x₁ < α < x₂ | a.f(α) < 0 |
| α < x₁ < x₂ |  |
| x₁ < x₂ < α |  |
| α < x₁ < β < x₂ |  |
| x₁ < α < x₂ < β |  |
| α < x₁ < x₂ < β |  |
| x₁ < α < β < x₂ |  |
II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.
1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
| A | = B ó A = B và B ≥ 0 hoặc A = -B và B < 0
| A | = |B| ⇔ A = -B hoặc A = B
2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
3. Các dạng khác và phương pháp giải
| Dạng phương trình | Phương pháp |
| ax4 + bx2 + c =0 (với a ≠ 0) | Đặt t = x2 ≥ 0 |
| (x + a)4 + (x + b)4 = c | Đặt t = x + ((a + b)/2) |
| x4 + 4x³ + ax² + bx + c = 0 (với b = 2a –8) | Đặt t = x + 1 |
| X4 – 4x³ + ax² + bx + c = 0 (với b = 8–2a ) | Đặt t = x – 1 |
| (ax² + bx + c)(ax² + bx + d) = m | Đặt t = ax2 + bx |
| (x + a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (với a + d = b + c) | Tính (x+a)(x+d) và (x+b)(x+c), đưa về dạng trên |
| ax4 + bx³ + cx² + bx + a = 0 | Chia hai vế cho x2
Đặt t = x + (1/x) |
| ax4 – bx³ + cx² + bx + a = 0 | Chia hai vế cho x2
Đặt t = x – (1/x) |
| x4 + ax³ + bx² + akx + k² = 0 | Chia hai vế cho x2
Đặt t = x + (k/x) |
| (ax² + bx + c)(ax² + dx + c) = mx² | Chia hai vế cho x2, từ đó xuất hiện cách đặt ẩn phụ |
| (x+ a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx² (với ad = bc ) | Tính (x+a)(x+d) và (x+b)(x+c). Đưa về dạng trên. |
III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I. Ôn tập về phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by = c (trong đó a, b, c là các hệ số (với a2 + b2 > 0, tức là a, b không đồng thời bằng 0).
| Trường hợp | Nghiệm | |
| a = b = 0 | c ≠ 0 | Vô nghiệm |
| c = 0 | Vô số nghiệm | |
| b ≠0 | Có nghiệm duy nhất (x0; ((-ax0 + c)/b) | |
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
Trong đó x, y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số
Nếu cặp số (x0;y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0;y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.
3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: ax + by + cz = d.
trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số (với a2 + b2 + c2 >0, tức là a, b, c không đồng thời bằng 0).
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:
Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số (x0;y0;z0) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).
Cách giải hệ phương trình
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ta đã biết, muốn giải một bệ phương trình hai ấn, ta tìm cách quy về việc giải phương trình một ẩn. Mục dích đó cũng có thể đạt được bằng cách áp dụng quy tác sau gọi là quy tắc cộng đại số.
+ Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau :
- Bước 1. Cộng hay trừ từng vẽ hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
- Bước 2. Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
Các dạng toán khác về phương trình và hệ phương trình được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này về để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.