5 cách chứng minh hình bình hành giải quyết mọi bài toán liên quan
5 cách chứng minh hình bình hành dưới đây là những cách chứng minh hình bình hành hiệu quả, áp dụng được cho mọi bài toán liên quan, từ đơn giản đến nâng cao.
Với những phương pháp này, việc chinh phục các bài toán hình học sẽ trở nên đơn giản hơn bao giờ hết!
Mời quý phụ huynh và các em tham khảo!
I. Cách chứng minh hình bình hành là hình chữ nhật
Để chứng minh một hình bình hành là hình chữ nhật, có hai cách làm như sau:
♦️ Cách 1: Chứng minh hình bình hành có một góc vuông:
- Sử dụng tính chất: Hình bình hành có một góc vuông thì là hình chữ nhật.
- Bạn có thể sử dụng định lý Pytago hoặc tính chất góc của tam giác vuông nếu bài toán yêu cầu liên quan đến cạnh và đường chéo.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng nếu ∠ABC = 90 độ thì ABCD là hình chữ nhật.
Giải:
🔹 Theo giả thiết ta có:
- ABCD là hình bình hành.
- Góc ∠ABC = 90 độ.
🔹 Chứng minh:
Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó: AB // CD và BC // AD.
Vì ∠ABC = 90 độ nên AB ⊥ BC.
Theo tính chất của hình bình hành, AB // CD. Vì AB ⊥ BC nên CD ⊥ BC.
Tương tự, BC // AD và BC ⊥ AB nên AD ⊥ AB.
Từ đó, cả 4 góc của hình bình hành ABCD đều là góc vuông.
Hình bình hành ABCD có 4 góc vuông, do đó ABCD là hình chữ nhật.
♦️ Cách 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau:
- Tính chất: Nếu trong hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình chữ nhật.
- Bạn có thể áp dụng định lý đồng dạng hoặc sử dụng tọa độ để tính độ dài hai đường chéo.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD với hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng nếu AC = BD thì ABCD là hình chữ nhật.
Giải:
🔹 Theo giả thiết ta có:
- ABCD là hình bình hành.
- AC = BD.
🔹 Chứng minh:
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: OA = OC và OB = OD.
Vì AC = BD nên OA = OB = OC = OD. Điều này chứng tỏ rằng giao điểm O chia hai đường chéo thành 4 đoạn thẳng bằng nhau.
🔹 Tính chất:
Trong một hình bình hành, nếu hai đường chéo bằng nhau, hình đó sẽ trở thành hình chữ nhật.
Điều này xảy ra vì khi AC = BD, góc giữa hai đường chéo sẽ bằng 90 độ, tức là hình bình hành có góc vuông.
🔹 Kết luận:
Vì AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
II. Cách chứng minh hình bình hành là hình vuông
Để chứng minh một hình bình hành là hình vuông, ta có 3 cách như sau:
♦️ Cách 1: Chứng minh một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau
- Sử dụng định lý Pythagoras để chứng minh rằng một góc của hình bình hành là vuông.
- Sử dụng tính chất các cạnh đối và kề để chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD, biết rằng AB = BC và ∠ABC=90 độ. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông.
Giải:
🔹 Theo giả thiết ta có:
- ABCD là hình bình hành.
- AB = BC (hai cạnh kề bằng nhau).
- ∠ABC = 90 độ (một góc vuông).
🔹 Chứng minh:
Theo tính chất của hình bình hành, ta có: AB // CD và AD // BC.
Từ giả thiết ∠ABC = 90 độ ta suy ra ∠BCD = 90 độ, ∠CDA = 90 độ, ∠DAB = 90 độ.
⇒ Hình bình hành ABCD có 4 góc vuông, nên ABCD là hình chữ nhật.
Theo giả thiết AB = BC, các cạnh kề của ABCD bằng nhau.
Vì trong hình chữ nhật, nếu hai cạnh kề bằng nhau, hình chữ nhật sẽ trở thành hình thoi, do đó ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên ABCD là hình vuông.
🔹 Kết luận:
Vậy hình bình hành ABCD là hình vuông.
♦️ Cách 2: Chứng minh hai đường chéo vuông góc và bằng nhau
+ Tính chất của hình bình hành:
- Nếu hai đường chéo vuông góc với nhau, hình bình hành là hình thoi.
- Nếu hai đường chéo bằng nhau, hình bình hành là hình chữ nhật.
- Nếu cả hai điều kiện này đều thỏa mãn, thì hình bình hành là hình vuông.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD. Biết rằng hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (AC⊥BD) và có độ dài bằng nhau (AC=BD). Chứng minh rằng ABCD là hình vuông.
Giải:
🔹 Theo giả thiết ta có:
- ABCD là hình bình hành.
- AC ⊥ BD (hai đường chéo vuông góc với nhau).
- AC = BD (hai đường chéo bằng nhau).
🔹 Chứng minh:
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do đó:
OA = OC và OB = OD.
Theo giả thiết, AC = BD dẫn đến OA = OB = OC = OD.
⇒ Giao điểm O chia hai đường chéo thành 4 đoạn bằng nhau.
Giả thiết AC⊥BD (hai đường chéo vuông góc) chứng tỏ rằng hình bình hành ABCD là hình thoi (vì tính chất của hình thoi: đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm).
Đồng thời, AC = BD (hai đường chéo bằng nhau) chứng tỏ rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật (vì trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau).
Kết hợp hai tính chất trên, ABCD vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật, nên ABCD là hình vuông.
🔹 Kết luận:
Vậy hình bình hành ABCD là hình vuông.
♦️ Cách 3: Sử dụng tọa độ hoặc vector
Đặt tọa độ các đỉnh của hình bình hành.
🔹 Chứng minh rằng:
- Các cạnh kề bằng nhau (bằng cách tính độ dài các vector cạnh).
- Góc giữa hai cạnh kề là 90 độ (bằng cách sử dụng tích vô hướng bằng 0).
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD với các đỉnh A(0,0), B(a,0), C(a,b) và D(0,b). Chứng minh rằng ABCD là hình vuông bằng cách sử dụng tọa độ và vector.
Giải:
🔹 Xác định các vector cạnh:
- Vector AB = (a,0).
- Vector AD = (0,b).
🔹 Chứng minh các cạnh kề vuông góc:
Tích vô hướng của Vector AB và AD là:
Vector AB x Vector AD = a x 0 + 0 x b = 0 => AB ⊥ AD.
🔹 Kiểm tra các cạnh bằng nhau:
Độ dài cạnh AB là: |Vector AB| = √(a² + 0²) = a.
Độ dài cạnh AD: |Vector AD| = √(0² + b²) = b.
Vì AB = AD nên hai cạnh kề của hình bình hành bằng nhau.
🔹 Kiểm tra hai đường chéo bằng nhau:
Vector đường chéo AC = (a,b) nên độ dài đường chéo AC là: |Vector AC| = √ (a² + b²).
Vector đường chéo BD = (−a,b) nên độ dài đường chéo BD là: |Vector BD| = √ [(−a)² + b²] = √(a² + b²).
🔹 Kết luận:
Hình bình hành ABCD có các cạnh kề vuông góc (Vector AB⊥AD), các cạnh kề bằng nhau (AB = AD) và hai đường chéo bằng nhau (AC = BD), do đó ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên ABCD là hình vuông.
Vậy hình bình hành ABCD là hình vuông.
III. Cách chứng minh hình bình hành bằng đường chéo
Hình bình hành có tính chất đặc biệt về đường chéo: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Bạn có thể sử dụng tính chất này để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.
Phương pháp chứng minh:
♦️ Phương pháp 1: Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo
🔹 Giả thiết:
Cho tứ giác ABCD với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
🔹 Chứng minh:
- Chứng minh rằng O là trung điểm của cả AC và BD: AO = OC và BO = OD.
- Nếu O là trung điểm của cả hai đường chéo thì ABCD là hình bình hành.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD. Biết rằng hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O và O là trung điểm của cả hai đường chéo. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Giải:
🔹 Giả thiết:
- Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
- O là trung điểm của AC, tức là AO = OC.
- O là trung điểm của BD, tức là BO = OD.
🔹 Chứng minh:
Tính chất:
- Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Do O là trung điểm của AC (AO = OC) và BD (BO = OD) nên ABCD thỏa mãn tính chất trên.
🔹 Kết luận:
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.
♦️ Phương pháp 2: Sử dụng tọa độ
🔹 Giả thiết:
Đặt tọa độ các đỉnh A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) và D(x4,y4).
🔹 Chứng minh:
- Tính trung điểm O1 của AC: O1((x1 + x3)/2,(y1 + y3)/2)).
- Tính trung điểm O2 của BD: O2((x2 + x4)/2,(y2 + y4)/2)).
- Nếu O1 = O2 tức là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình bình hành.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD với các đỉnh: A(0,0); B(4,0); C(5,3); D(1,3)
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành bằng cách sử dụng tọa độ.
Giải:
🔹 Tính trung điểm của đường chéo AC:
Tọa độ trung điểm O1 của AC là:
O1 = ((xA + xC)/2, (yA + yC)/2)) = ((0 + 5)/2, (0 + 3)/2) = (2.5, 1.5).
🔹 Tính trung điểm của đường chéo BD:
Tọa độ trung điểm O2 của BD là:
O2 = ((xB + xD)/2, (yB + yD)/2)) = ((4 + 1)/2, (0 + 3)/2)) = (2.5, 1.5).
🔹 So sánh trung điểm O1 và O2:
Vì O1 = O2 = (2.5,1.5) nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại cùng một điểm và điểm này là trung điểm của cả hai đường chéo.
🔹 Kết luận:
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó ABCD là hình bình hành.
♦️ Phương pháp 3: Sử dụng vector
🔹 Giả thiết:
Hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại O.
🔹 Chứng minh:
Sử dụng vector để chứng minh: Vector AO = Vector OC và Vector BO = Vector OD.
Nếu cả hai điều kiện trên đều thỏa mãn thì ABCD là hình bình hành.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD với các tọa độ như sau: A(0,0); B(4,0); C(5,3); D(1,3)
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành bằng cách sử dụng vector.
Giải:
🔹 Tính các vector cạnh:
Vector AB = (xB − xA, yB − yA)= (4 − 0, 0 − 0) = (4,0)
Vector CD = (xD − xC, yD − yC) = (1 − 5, 3 − 3) = (−4,0)
🔹 So sánh vector AB và vector CD
Vector AB = − Vector CD tức là AB//CD và có độ dài bằng nhau.
🔹 Tính các vector cạnh còn lại:
Vector AD = (xD − xA, yD − yA) = (1 − 0, 3 − 0)= (1,3)
Vector BC = (xC − xB, yC − yB) = (5 − 4, 3 − 0) = (1,3)
🔹 So sánh vector AD và vector BC:
Vector AD = Vector BC tức là AD//BC và có độ dài bằng nhau.
🔹 Kết luận:
Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau (Vector AB = − Vector CD và Vector AD = Vector BC) do đó ABCD là hình bình hành.
IV. Cách chứng minh hình bình hành là hình thoi
Để chứng minh một hình bình hành là hình thoi, cần chỉ ra rằng các cạnh liền kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc với nhau. Dưới đây là các phương pháp cụ thể:
♦️ Phương pháp 1: Chứng minh các cạnh liền kề bằng nhau
🔹 Tính chất:
- Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau.
- Nếu hai cạnh liền kề cũng bằng nhau, thì tất cả các cạnh của hình bình hành đều bằng nhau, nên hình bình hành đó là hình thoi.
🔹 Cách làm:
Dùng định lý Pythagoras nếu bài toán có góc vuông hoặc tính độ dài các cạnh (dùng tọa độ hoặc vector) và so sánh các cạnh liền kề.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD với:
Độ dài AB = AD = 5
Đường chéo AC = 6, BD = 8.
Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.
Giải:
🔹 Theo giả thiết, ta có:
ABCD là hình bình hành, do đó các cạnh đối bằng nhau: AB = CD và AD = BC.
Giả thiết cho biết AB = AD = 5 tức là hai cạnh liền kề bằng nhau.
🔹 Chứng minh:
Hình bình hành ABCD có tính chất các cạnh đối bằng nhau.
Vì AB = AD suy ra: AB = AD = BC = CD = 5.
Tất cả các cạnh của ABCD bằng nhau nên hình bình hành ABCD là hình thoi.
🔹 Kết luận:
Vậy ABCD là hình thoi.
♦️ Phương pháp 2: Chứng minh hai đường chéo vuông góc với nhau
🔹 Tính chất:
Trong hình bình hành, nếu hai đường chéo vuông góc với nhau, thì hình bình hành là hình thoi.
🔹 Cách làm:
Dùng tọa độ hoặc vector để kiểm tra tích vô hướng của hai đường chéo (Vector AC x Vector BD = 0) hoặc chứng minh bằng tính chất hình học (tam giác vuông).
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD với các tọa độ: A(0,0); B(4,0); C(2,3); D(−2,3)
Chứng minh rằng ABCD là hình thoi bằng cách chứng minh hai đường chéo vuông góc với nhau.
Giải:
🔹 Tính vector đường chéo AC:
Vector AC = Vector C − Vector A = (2 − 0, 3 − 0) = (2,3).
🔹 Tính vector đường chéo BD:
BD = Vector D − Vector B = (−2 − 4, 3 − 0) = (−6,3)
🔹 Tích vô hướng của AC và BD:
Tích vô hướng AC x BD = (2) x (−6) + (3) x (3) = −12 + 9 = −3.
🔹 Kiểm tra tích vô hướng:
Nếu AC x BD = 0, hai đường chéo sẽ vuông góc.
Ở đây, AC x BD = −3 ≠ 0 nghĩa là hai đường chéo không vuông góc.
Do đó, hình bình hành này không phải là hình thoi.
♦️ Phương pháp 3: Sử dụng tính chất hình học đặc biệt
🔹 Tính chất:
Nếu hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc trong, thì hình bình hành là hình thoi.
🔹 Cách làm:
Chứng minh đường chéo chia góc đối diện thành hai góc bằng nhau.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD. Biết rằng đường chéo AC là phân giác của góc BAD. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi.
Giải:
🔹 Theo giả thiết, ta có:
ABCD là hình bình hành.
Đường chéo AC là phân giác của góc BAD, tức là: ∠CAB =∠CAD.
🔹 Chứng minh:
Tính chất của hình bình hành:
- Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Nếu một đường chéo là phân giác của góc trong, thì hình bình hành đó là hình thoi.
Do AC là phân giác của góc BAD, suy ra AB = AD (tính chất đường phân giác trong tam giác).
Vì ABCD là hình bình hành, nên: AB = CD và AD = BC.
Kết hợp với AB = AD suy ra AB = AD = BC = CD.
Tất cả các cạnh của hình bình hành ABCD bằng nhau nên ABCD là hình thoi.
🔹 Kết luận:
Vậy hình bình hành ABCD là hình thoi.
V. Cách chứng minh hình bình hành bằng vectơ
Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành bằng phương pháp vector, bạn cần kiểm tra một trong các tính chất sau:
♦️ Phương pháp 1: Chứng minh các cặp cạnh đối song song và bằng nhau
🔹 Tính chất:
- Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Sử dụng vector: Hai vector song song nếu tỉ lệ của chúng bằng nhau.
🔹 Cách làm:
- Gọi ABCD là tứ giác, tính các vector cạnh: Vector AB, Vector CD, Vector AD, Vector BC.
- Chứng minh: Vector AB = Vector CD và Vector AD = Vector BC.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD với các tọa độ: A(0,0); B(4,0); C(5,3); D(1,3)
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành bằng cách sử dụng vector.
Giải:
🔹 Tính các vector cạnh:
Vector AB=(4 − 0, 0 − 0) = (4,0)
Vector CD = (1 − 5, 3 − 3) = (−4,0)
Vector AD = (1 − 0, 3 − 0) = (1,3)
Vector BC = (5 − 4, 3 − 0) = (1,3)
🔹 Kiểm tra các cặp cạnh đối song song:
Vector AB = − Vector CD, do đó Vector AB// Vector CD
Vector AD = Vector BC, do đó Vector AD // Vector BC.
🔹 Kiểm tra các cặp cạnh đối bằng nhau:
Độ dài của Vector AB = √(4² + 0²) = 4
Độ dài của Vector CD =√[(−4)² + 0²] =4 ⇒ |Vector AB| = |Vector CD|.
Độ dài của Vector AD = √(1² + 3²) = √10
Độ dài của Vector BC = √(1² + 3²) = √10 ⇒ | Vector AD| = | Vector BC|.
🔹 Kết luận:
Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó ABCD là hình bình hành.
♦️ Phương pháp 2: Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
🔹 Tính chất:
Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
🔹 Cách làm:
Gọi AC và BD là hai đường chéo, tính các vector: Vector OA = Vector OC, Vector OB = Vector OD.
Nếu đúng, thì ABCD là hình bình hành.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD với các tọa độ: A(0,0); B(4,0); C(5,3); D(1,3)
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành bằng cách chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Giải:
🔹 Tính tọa độ trung điểm của đường chéo AC:
AC là đường chéo nối A(0,0) và C(5,3)
🔹 Trung điểm O1 của AC là:
O1 = ((xA + xC)/2, (yA + yC)/2)) = ((0 + 5)/2, (0 + 3)/2) = (2.5,1.5).
🔹 Tính tọa độ trung điểm của đường chéo BD:
BD là đường chéo nối B(4,0) và D(1,3).
🔹 Trung điểm O2 của BD là:
O2 = ((xB + xD)/2, (yB + yD)/2) = ((4 + 1)/2, (0 + 3)/2) = (2.5,1.5).
🔹 So sánh tọa độ trung điểm O1 và O2:
O1 = O2 = (2.5,1.5)
🔹 Kết luận:
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại cùng một điểm O(2.5,1.5) và O là trung điểm của cả hai đường chéo. Do đó, ABCD là hình bình hành.
Hi vọng 5 cách chứng minh hình bình hành ở trên đã giúp bạn biết cách chinh phục mọi bài toán liên quan đến hình bình hành cũng như đạt điểm cao hơn trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán.
Kiến thức và bài tập về hình bình hành đều có sẵn trong cuốn Sổ tay Toán Học cấp 3 – All in one. Các em hãy mua ngay cuốn sách này để học tốt môn Toán hơn cũng như chuẩn bị thật kỹ càng cho kì thi THPT Quốc Gia nhé!
Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1lwGTfICWEizoXYT2gFo7h1C2OhrNgYnt/view
Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh THPT hàng đầu!